Calcule as integrais duplas
integral0^1 integralx^1 x^2 e^y^4 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1integralx^1x^2e^y^4,dy,dx. Vamos usar conceitos de integração dupla e, em especial, trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

A região de integração é 0<= x<= 1 e x<= y<= 1. Ao invertermos a ordem, temos y variando de 0 a 1 e, para cada y, x variando de 0 a y. Assim
$$\n\int_{0}{1}\int_{x}{1}x{2}e{y^{4}},dy,dx
= \int_{0}{1}\int_{0}{y}x{2}e{y^{4}},dx,dy.$$

Passo 3

Agora integramos primeiro em x:

Passo 4

Então a integral fica

Passo 5

Para resolver integral0^1y^3e^y^4,dy, usamos a substituição t=y^4, de modo que dt=4y^3dy e y=0to t=0, y=1to t=1. Assim

Passo 6

Multiplicando pelo fator 1/3, obtemos o valor final da integral dupla.

Resposta

e-112

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