Ache o intervalo de convergência das séries de potências .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar o teste da razão, que ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita onde cada termo é um múltiplo de . O intervalo de convergência indica os valores de para os quais essa soma não cresce para o infinito, ou seja, dá um resultado finito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite:
for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge, e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 4
Vamos calcular esse limite para a nossa série:
an = x^n2^n, an+1 = x^n+12^n+1
Calculando a razão:
| an+1an | = | x^n+12^n+1x^n2^n | = | x2 |
Agora, aplicando o limite:
L = limn to infty | x2 | = | x2 |
Passo 5
Segundo o teste da razão, para a série convergir, precisamos que:
| x2 | < 1 Rightarrow |x| < 2
Portanto, o intervalo de convergência é todos os valores de x que satisfazem $ -2 < x < 2 $.
Resposta
O intervalo de convergência da série é -2 < x < 2.