Determine quais séries convergem absolutamente ou condicionalmente
sumn=1^infty (-1)^n+1(2 n-1)^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1(2n-1)^2 converge de forma absoluta ou condicionalmente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa uma série convergir absolutamente ou condicionalmente.
  • Convergência Absoluta: Uma série sum an converge absolutamente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge.
  • Convergência Condicional: A série sum an converge condicionalmente se ela converge, mas a série dos valores absolutos sum |an| diverge.

Passo 3

Agora, vamos considerar a série original:
sumn=1^infty (-1)^n+1(2n-1)^2
Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal devido ao (-1)^n+1.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta analisando a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1(2n-1)^2 | = sumn=1^infty 1(2n-1)^2
Essa é uma série p, onde p = 2. Sabemos que uma série p sum 1n^p converge se p > 1.

Passo 5

Como p = 2 > 1, a série sumn=1^infty 1(2n-1)^2 converge. Portanto, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1(2n-1)^2 converge absolutamente.

Exercícios relacionados