Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\operatorname{sen} y}{x} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{e}\frac{\operatorname{sen} y}{x}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integral interna é em x, com x variando de 1 a e.
  • A integral externa é em y, com y variando de 0 a \pi/2.
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sen} y}{x}.

Passo 2

Observação útil e regra que vamos usar: se uma função é produto de uma função só de y por uma função só de x, então ao integrar em x a parte que depende só de y pode ser tratada como constante. Em símbolos: se g(y) não depende de x, então
\int_{a}^{b} g(y)\,f(x)\,dx = g(y)\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Isto é apenas a linearidade da integral — na prática, quando integramos em x, tudo que não contém x sai da integral.
No nosso caso g(y)=\operatorname{sen} y e f(x)=1/x, então podemos aplicar essa propriedade à integral interna.

Passo 3

Calcular a integral interna:
\int_{1}^{e}\frac{\operatorname{sen} y}{x}\,dx = \operatorname{sen} y \int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx.
Agora lembramos que a primitiva de \dfrac{1}{x} é o logaritmo natural \ln x. Ou seja,
\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx = \bigl[\ln x\bigr]_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1,
pois \ln e = 1 e \ln 1 = 0. Portanto a integral interna vale
\int_{1}^{e}\frac{\operatorname{sen} y}{x}\,dx = \operatorname{sen} y \cdot 1 = \operatorname{sen} y.

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} y\,dy.
Conhecemos a primitiva de \operatorname{sen} y, que é -\cos y, porque \dfrac{d}{dy}(-\cos y)=\operatorname{sen} y. Então
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} y\,dy = \bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi/2} = -\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) -\bigl(-\cos 0\bigr).
Sabendo que \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 e \cos 0=1, isto dá
0 - (-1) = 1.

Passo 5

Comentário final rápido (pra você se tranquilizar): uma outra maneira seria notar que a função é produto de f(x)=1/x por g(y)=\operatorname{sen}y e usar que a integral dupla se separa em produto de integrais, desde que tudo seja integrável (aqui é o caso). Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados