Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
Informações dadas:
- A integral interna é em
, com variando de a . - A integral externa é em
, com variando de a . - O integrando é
.
Passo 2
Observação útil e regra que vamos usar: se uma função é produto de uma função só de
por uma função só de
, então ao integrar em
a parte que depende só de
pode ser tratada como constante. Em símbolos: se
não depende de
, então
Isto é apenas a linearidade da integral — na prática, quando integramos em
, tudo que não contém
sai da integral.
No nosso caso
e
, então podemos aplicar essa propriedade à integral interna.
Passo 3
Calcular a integral interna:
Agora lembramos que a primitiva de
é o logaritmo natural
. Ou seja,
pois
e
. Portanto a integral interna vale
Passo 4
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, obtemos
Conhecemos a primitiva de
, que é
, porque
. Então
Sabendo que
e
, isto dá
Passo 5
Comentário final rápido (pra você se tranquilizar): uma outra maneira seria notar que a função é produto de
por
e usar que a integral dupla se separa em produto de integrais, desde que tudo seja integrável (aqui é o caso). Ambas as abordagens levam ao mesmo resultado
.