Calcule as integrais duplas iteradas abaixo: \int_{-1}^{2} \int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right) d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
\int_{-1}^{2} \int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
A ordem de integração é primeiro em y (de -1 a 2) e depois em x (de -1 a 2).
O integrando é o polinômio \,2 x y^{2}-3 x^{2} y\,, que é uma função simples (polinomial) em x e y.
As perguntas implícitas: calcular a integral interna em y mantendo x fixo e depois calcular a integral externa em x.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação curta e prática):
Linearidade da integral: \int (f+g)=\int f+\int g e constantes podem sair da integral.
Ao integrar em y tratando x como constante: \int (a(x)\,y^n)\,dy = a(x)\,\dfrac{y^{n+1}}{n+1}, onde a(x) é função de x.
Fórmulas básicas: \displaystyle\int y^2\,dy=\dfrac{y^3}{3} e \displaystyle\int y\,dy=\dfrac{y^2}{2}.
Aplicando isso, primeiro calculamos a integral interna \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right)\,dy.
Passo 3
Calcular a integral interna em y:
\int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right)\,dy =2x\int_{-1}^{2}y^{2}\,dy-3x^{2}\int_{-1}^{2}y\,dy.