Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{-1}^{2} \int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
\int_{-1}^{2} \int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A ordem de integração é primeiro em y (de -1 a 2) e depois em x (de -1 a 2).
  • O integrando é o polinômio \,2 x y^{2}-3 x^{2} y\,, que é uma função simples (polinomial) em x e y.
    As perguntas implícitas: calcular a integral interna em y mantendo x fixo e depois calcular a integral externa em x.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação curta e prática):
  • Linearidade da integral: \int (f+g)=\int f+\int g e constantes podem sair da integral.
  • Ao integrar em y tratando x como constante: \int (a(x)\,y^n)\,dy = a(x)\,\dfrac{y^{n+1}}{n+1}, onde a(x) é função de x.
  • Fórmulas básicas: \displaystyle\int y^2\,dy=\dfrac{y^3}{3} e \displaystyle\int y\,dy=\dfrac{y^2}{2}.
    Aplicando isso, primeiro calculamos a integral interna \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right)\,dy.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right)\,dy =2x\int_{-1}^{2}y^{2}\,dy-3x^{2}\int_{-1}^{2}y\,dy.
Agora as primitivas:
\int y^{2}\,dy=\dfrac{y^{3}}{3},\qquad \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}.
Portanto a expressão primitiva (antes de avaliar os limites) é
2x\cdot\dfrac{y^{3}}{3}-3x^{2}\cdot\dfrac{y^{2}}{2} =\dfrac{2x}{3}y^{3}-\dfrac{3x^{2}}{2}y^{2}.
Avaliaremos de y=-1 a y=2. Calcule os incrementos:
y^{3}\Big|_{-1}^{2}=2^{3}-(-1)^{3}=8-(-1)=9, \qquad y^{2}\Big|_{-1}^{2}=2^{2}-(-1)^{2}=4-1=3.
Substituindo:
\int_{-1}^{2}\left(2 x y^{2}-3 x^{2} y\right)\,dy =\dfrac{2x}{3}\cdot 9-\dfrac{3x^{2}}{2}\cdot 3 =6x-\dfrac{9}{2}x^{2}.

Passo 4

Agora integramos o resultado em x de -1 a 2:
\int_{-1}^{2}\left(6x-\dfrac{9}{2}x^{2}\right)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int 6x\,dx = 6\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=3x^{2}, \qquad \int \dfrac{9}{2}x^{2}\,dx=\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{3}{2}x^{3}.
Logo uma primitiva é
F(x)=3x^{2}-\dfrac{3}{2}x^{3}.
Avaliar de x=-1 a x=2.

Passo 5

Avaliação dos limites:
F(2)=3\cdot 2^{2}-\dfrac{3}{2}\cdot 2^{3}=3\cdot 4-\dfrac{3}{2}\cdot 8=12-12=0,
F(-1)=3\cdot(-1)^{2}-\dfrac{3}{2}\cdot(-1)^{3}=3\cdot1-\dfrac{3}{2}\cdot(-1)=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}.
Portanto o valor da integral dupla é
F(2)-F(-1)=0-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{9}{2}.

Resposta

-\dfrac{9}{2}

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