Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Dados importantes:
- O domínio de integração é o quadrado
. - A integranda é
.
A pergunta é: qual é o valor numérico de?
Passo 2
Observações e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais. Isto é, para funções integráveis
e ,
- Teorema de Fubini (caso prático): se a função é contínua no retângulo de integração (aqui é contínua), então a integral dupla pode ser calculada como integral iterada em qualquer ordem; em particular,
- Antiderivada básica usada: a primitiva de
é , porque . Para integrais definidas não precisamos da constante de integração.
Passo 3
Aplicando linearidade, separamos a integral em duas:
Passo 4
Avaliação do primeiro termo. A integranda
depende só de
, logo
Calcule a integral interna:
Como o resultado não depende de
, a integral externa é multiplicar por
, logo o primeiro termo vale
.
Passo 5
Avaliação do segundo termo. De modo análogo, trocando os papéis de
e
,
e
Multiplicando por
, o segundo termo também vale
.
Passo 6
Somando os dois termos obtém-se o valor final: