Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\right)\,dx\,dy.
Dados importantes:
  • O domínio de integração é o quadrado [0,1]\times[0,1].
  • A integranda é \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}.
    A pergunta é: qual é o valor numérico de I?

Passo 2

Observações e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais. Isto é, para funções integráveis f e g,
\int\int (f+g)=\int\int f+\int\int g.
  • Teorema de Fubini (caso prático): se a função é contínua no retângulo de integração (aqui é contínua), então a integral dupla pode ser calculada como integral iterada em qualquer ordem; em particular,
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} h(x,y)\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1} h(x,y)\,dx\right)dy.
  • Antiderivada básica usada: a primitiva de \dfrac{1}{t+1} é \ln(t+1), porque \dfrac{d}{dt}\ln(t+1)=\dfrac{1}{t+1}. Para integrais definidas não precisamos da constante de integração.

Passo 3

Aplicando linearidade, separamos a integral em duas:
I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx\,dy+\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\,dx\,dy.

Passo 4

Avaliação do primeiro termo. A integranda \dfrac{1}{x+1} depende só de x, logo
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\Bigg(\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx\Bigg)dy.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}\,dx=\Big[\ln(x+1)\Big]_{0}^{1}=\ln(2)-\ln(1)=\ln 2.
Como o resultado não depende de y, a integral externa é multiplicar por \int_{0}^{1}dy=1, logo o primeiro termo vale \ln 2.

Passo 5

Avaliação do segundo termo. De modo análogo, trocando os papéis de x e y,
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\Bigg(\int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\,dy\Bigg)dx
e
\int_{0}^{1}\frac{1}{y+1}\,dy=\Big[\ln(y+1)\Big]_{0}^{1}=\ln 2.
Multiplicando por \int_{0}^{1}dx=1, o segundo termo também vale \ln 2.

Passo 6

Somando os dois termos obtém-se o valor final:
I=\ln 2+\ln 2=2\ln 2.

Resposta

2\ln 2

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