Calcule as integrais duplas iteradas abaixo: \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{y} d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x \,\mathrm{e}^{y}\, dy\, dx.
Informações dadas e o que se pede:
A região de integração é o retângulo [0,1]\times[0,1].
A função integrando é \,x\,\mathrm{e}^{y}.
O objetivo é obter o valor numérico dessa integral dupla iterada.
Passo 2
Observação e ideia de resolução (explicando a teoria de forma simples e prática):
A integranda \,x\,\mathrm{e}^{y} é um produto de uma função de x apenas e uma função de y apenas. Em um retângulo isso facilita muito: ao integrar em y tratando \,x\, como constante, podemos puxar \,x\, para fora da integral em y.
Mais formalmente, como a função é contínua no retângulo, podemos aplicar a linearidade da integral iterada (ou o Teorema de Fubini), o que permite trocar constantes de lugar e separar fatores quando apropriado.
Aplicando isso ao integral interno (integramos em y primeiro):
\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{y}\,dy = x \int_{0}^{1}\mathrm{e}^{y}\,dy.
Aqui expliquei: \,x\, foi tratada como constante porque a variável de integração é \,y\,.
Passo 3
Calcular a integral de \mathrm{e}^{y} (a “aula rápida” sobre a primitiva):
A primitiva (antiderivada) de \mathrm{e}^{y} é \mathrm{e}^{y} mesma, pois \dfrac{d}{dy}\mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{y}.
Logo,
Fica a dica: quando a integranda for produto de função só de x por função só de y em um retângulo, pense direto em separar as integrais — economiza tempo na prova. Força e você consegue!