Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x \,\mathrm{e}^{y}\, dy\, dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A região de integração é o retângulo [0,1]\times[0,1].
  • A função integrando é \,x\,\mathrm{e}^{y}.
  • O objetivo é obter o valor numérico dessa integral dupla iterada.

Passo 2

Observação e ideia de resolução (explicando a teoria de forma simples e prática):
  • A integranda \,x\,\mathrm{e}^{y} é um produto de uma função de x apenas e uma função de y apenas. Em um retângulo isso facilita muito: ao integrar em y tratando \,x\, como constante, podemos puxar \,x\, para fora da integral em y.
  • Mais formalmente, como a função é contínua no retângulo, podemos aplicar a linearidade da integral iterada (ou o Teorema de Fubini), o que permite trocar constantes de lugar e separar fatores quando apropriado.
Aplicando isso ao integral interno (integramos em y primeiro):
\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{y}\,dy = x \int_{0}^{1}\mathrm{e}^{y}\,dy.
Aqui expliquei: \,x\, foi tratada como constante porque a variável de integração é \,y\,.

Passo 3

Calcular a integral de \mathrm{e}^{y} (a “aula rápida” sobre a primitiva):
  • A primitiva (antiderivada) de \mathrm{e}^{y} é \mathrm{e}^{y} mesma, pois \dfrac{d}{dy}\mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{y}.
    Logo,
\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{y}\,dy = \mathrm{e}^{y}\Big|_{0}^{1} = \mathrm{e}-1.
Substituindo no resultado do passo anterior:
\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{y}\,dy = x(\mathrm{e}-1).

Passo 4

Agora integramos em x (explicando as regras usadas):
  • O fator \mathrm{e}-1 é constante em relação a x, então pode ser puxado para fora da integral em x por linearidade.
    Calculamos:
\int_{0}^{1} \bigl[x(\mathrm{e}-1)\bigr]\,dx = (\mathrm{e}-1)\int_{0}^{1} x\,dx.
  • A primitiva de x é \dfrac{1}{2}x^{2}, pois \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{2}x^{2}\right)=x.
    Logo,
\int_{0}^{1} x\,dx = \frac{1}{2}x^{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Portanto a integral vale
(\mathrm{e}-1)\cdot\frac{1}{2}.

Passo 5

Comentário final e dica para a prova:
  • Um caminho alternativo (mais curto) é notar desde o início que, por separabilidade, a integral sobre o retângulo se separa em produto:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x\,\mathrm{e}^{y}\,dy\,dx = \left(\int_{0}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{y}\,dy\right),
o que leva ao mesmo resultado.
  • Fica a dica: quando a integranda for produto de função só de x por função só de y em um retângulo, pense direto em separar as integrais — economiza tempo na prova. Força e você consegue!

Resposta

\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}

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