Calcule as integrais duplas iteradas.
l b) f(x, y)=y e^x y ; R é o retângulo 0 <= x <= 3 0 <= y <= 1 éâ

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla. A função que estamos integrando é e a região de integração é um retângulo definido por e . Para resolver isso, vamos usar o método de integrais iteradas, que basicamente envolve integrar em relação a uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a integral0^3 ( integral0^1 y e^xy , dy ) dx e depois em relação a . Então, temos:

Passo 3

Vamos focar na integral interna primeiro, que é integral u , dv = uv - integral v , du . Para resolver isso, vamos usar a integração por partes. Lembrando que a fórmula da integração por partes é:

Passo 4

Vamos escolher du = dy e v = integral e^xy , dy = e^xyx . Então, precisamos calcular e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral y e^xy , dy = y cdot e^xyx - integral e^xyx cdot dy
= y e^xyx - 1x integral e^xy , dy

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral e^xy , dy = e^xyx
Substituindo de volta:
y e^xyx - 1x cdot e^xyx = y e^xyx - e^xyx^2

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão de [ y e^xyx - e^xyx^2 ]0^1 = ( e^xx - e^xx^2 ) - ( 0 - 1x^2 ) a = e^xx - e^xx^2 + 1x^2 :

Passo 8

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^3 ( e^xx - e^xx^2 + 1x^2 ) dx
Essa integral pode ser complicada para resolver por métodos elementares, mas podemos reconhecer que ela envolve funções que não têm antiderivadas em termos de funções elementares. Portanto, a integral será expressa em termos da função exponencial integral .

Passo 9

A solução final da integral dupla é:
[ -e^xx + Ei(x) + 1x ]0^3
Avaliando de 0 a 3, obtemos o valor final da integral.

Resposta

A integral dupla [ -e^xx + Ei(x) + 1x ]0^3 sobre o retângulo é igual a:
Para obter o valor numérico exato, é necessário calcular essa expressão nos limites de 0 a 3.

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