Calcule as integrais duplas iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla. A função que estamos integrando é
e a região de integração
é um retângulo definido por
e
. Para resolver isso, vamos usar o método de integrais iteradas, que basicamente envolve integrar em relação a uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, temos:
Passo 3
Vamos focar na integral interna primeiro, que é
. Para resolver isso, vamos usar a integração por partes. Lembrando que a fórmula da integração por partes é:
Passo 4
Vamos escolher
e
. Então, precisamos calcular
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda integral:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 8
Agora, substituímos isso na integral externa:
Essa integral pode ser complicada para resolver por métodos elementares, mas podemos reconhecer que ela envolve funções que não têm antiderivadas em termos de funções elementares. Portanto, a integral será expressa em termos da função exponencial integral
.
Passo 9
A solução final da integral dupla é:
Avaliando de 0 a 3, obtemos o valor final da integral.
Resposta
A integral dupla
sobre o retângulo
é igual a:
Para obter o valor numérico exato, é necessário calcular essa expressão nos limites de 0 a 3.