Nas séries de potência abaixo, análise quais são os pontos ordinário e encontre uma solução em série de potências para a equação:
, em
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar quais são os pontos ordinários nas séries de potência dadas e encontrar uma solução em série de potências para a equação diferencial:
em $ x_0 = 1 $.
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e séries de potência. Precisamos verificar se $ x_0 = 1 $ é um ponto ordinário e, se for, encontrar uma solução em série de potências centrada nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto ordinário. Em uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
um ponto $ x_0 $ é chamado de ponto ordinário se as funções $ P(x) $ e $ Q(x) $ são analíticas em $ x_0 $. Isso significa que elas podem ser expressas como séries de potências ao redor de $ x_0 $.
No nosso caso, a equação é:
que podemos reescrever como:
Aqui, $ P(x) = -x $ e $ Q(x) = -1 $. Ambas as funções são polinômicas e, portanto, analíticas em todo o intervalo $ (-\infty, \infty) $. Então, $ x_0 = 1 $ é um ponto ordinário.
Passo 3
Agora que confirmamos que $ x_0 = 1 $ é um ponto ordinário, vamos assumir uma solução em série de potências centrada em $ x_0 = 1 $. Ou seja, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar os coeficientes $ a_n $, precisamos calcular as derivadas de $ y(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial original:
Substituindo, temos:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo para ter todas as séries com a mesma potência de $ (x - 1) $:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:Aqui, usamos $ x = (x - 1) + 1 $ para expandir:Ajustando índices:
-
Terceiro termo:
Passo 7
Juntando todos os termos, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ (x - 1)^n $ devem ser iguais a zero.
Passo 8
Vamos igualar os coeficientes de $ (x - 1)^n $ a zero:
Para $ n \geq 0 $:
Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 9
Agora, precisamos determinar os coeficientes iniciais $ a_0 $ e $ a_1 $. Esses valores geralmente são determinados pelas condições iniciais da equação diferencial. Como não foram dadas condições específicas, podemos deixá-los como parâmetros livres.
Portanto, a solução geral em série de potências centrada em $ x_0 = 1 $ é:
Resposta
A solução em série de potências centrada em $ x_0 = 1 $ para a equação diferencial $ y’’ - x y’ - y = 0 $ é dada por:
onde os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ são determinados pela relação de recorrência:
com $ a_0 $ e $ a_1 $ sendo constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.