Considere a equação de Euler
x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0
onde alpha e beta são constantes reais.
Encontre os pontos singulares da equação de Euler.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a equação de Euler:
x^2 y'' + alpha x y' + beta y = 0
O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente a equação de Euler. Pra resolver, precisamos entender o que são pontos singulares, que são valores de x onde a equação pode se comportar de forma estranha, tipo onde os coeficientes “quebram” ou dão problema.

Passo 2

Primeiro, pra achar os pontos singulares, a gente olha pra forma geral da equação de segunda ordem:
P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0
Aqui, $ P(x) = x^2 $, $ Q(x) = \alpha x $ e $ R(x) = \beta $.

Passo 3

Um ponto $ x_0 $ é chamado de singular quando $ P(x_0) = 0 $. Então, vamos resolver:
x0
Isso dá $ x = 0 $.

Passo 4

Então, o único ponto que faz $ P(x) = 0 $ é $ x = 0 $. Esse é o ponto onde a equação de Euler tem um comportamento especial, ou seja, um ponto singular.

Resposta

O único ponto singular da equação de Euler é $ x = 0 $.

Exercícios relacionados