Expresse a função em série de potências utilizando as funções estudadas:
x^5 e^-4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expressarmos a função $ x^{5} e^{-4x} $ em série de potências. Isso está relacionado ao estudo de séries de Taylor ou Maclaurin, que nos permitem representar funções como somas infinitas de potências de x^5 e^-4x . Para resolver, vamos precisar conhecer a série de potência da exponencial $ e^{x} $ e adaptar para o nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de potência da função exponencial $ e^{x} $. Sabemos que:
e^x
Isso significa que $ e^{x} $ pode ser escrito como uma soma infinita onde cada termo é $ \frac{x^{n}}{n!} $.

Passo 3

Agora, queremos a série de $ e^{-4x} $. Para isso, substituímos $ x $ por $ -4x $ na série de $ e^{x} $:
e^-4x

Passo 4

Nossa função original é $ x^{5} e^{-4x} $. Agora que temos a série para $ e^{-4x} $, basta multiplicar cada termo da série por $ x^{5} $:
x^5 e^-4x

Passo 5

Podemos ajustar o índice para simplificar a expressão. Vamos deixar a potência de $ x $ mais clara. Se substituirmos $ n + 5 $ por $ k $, onde $ k = n + 5 $, então $ n = k - 5 $. Ajustando os limites da soma:
x

Resposta

Portanto, a série de potências de $ x^{5} e^{-4x} $ é:
x^5 e^-4x

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