Calcule as integrais duplas na região retangular
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Passo 1
Vamos calcular uma integral dupla na região retangular $ R $, onde $ R = \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \times \left[0, \frac{\pi}{3}\right] $. A função que vamos integrar é $ x \cdot \sin(x + y) $. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais duplas, especificamente a integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante. A integral interna fica:
Como $ x $ é constante nessa integração, podemos fatorá-lo para fora:
Passo 3
Para resolver $ \int \sin(x + y) , dy $, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = x + y $, então $ du = dy $. Assim, a integral vira:
Aplicando os limites de $ y $:
Passo 4
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral única em $ x $:
Passo 5
Vamos separar os termos para facilitar a integração:
Para resolver essas integrais, usaremos o método de integração por partes.
Passo 6
Primeiro, integramos $ \int x \cos(x) , dx $:
Escolhemos $ u = x $ e $ dv = \cos(x) , dx $. Então, $ du = dx $ e $ v = \sin(x) $.
Aplicando a integração por partes:
Passo 7
Agora, integramos $ \int x \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) , dx $:
Escolhemos $ u = x $ e $ dv = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) , dx $. Assim, $ du = dx $ e $ v = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) $.
Aplicando a integração por partes:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão principal:
Passo 9
Calculando nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{6} $:
Sabendo que $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $, $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, temos:
Para $ x = 0 $:
Passo 10
Calculando a diferença:
Passo 11
Simplificando os termos:
Resposta
A integral dupla vale $ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\pi}{12} $.