Calcule as integrais duplas na região retangular R.
integral duplaR x sen(x+y) d A, R=[0, pi6] times[0, pi3]

Passo 1

Vamos calcular uma integral dupla na região retangular $ R $, onde $ R = \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \times \left[0, \frac{\pi}{3}\right] $. A função que vamos integrar é $ x \cdot \sin(x + y) $. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo de integrais duplas, especificamente a integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante. A integral interna fica:
y
Como $ x $ é constante nessa integração, podemos fatorá-lo para fora:
x

Passo 3

Para resolver $ \int \sin(x + y) , dy $, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = x + y $, então $ du = dy $. Assim, a integral vira:
integral sin(x + y) , dy
Aplicando os limites de $ y $:
u = x + y

Passo 4

Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral única em $ x $:
x

Passo 5

Vamos separar os termos para facilitar a integração:
integral x cos(x) , dx - integral x cos(x + pi3) , dx
Para resolver essas integrais, usaremos o método de integração por partes.

Passo 6

Primeiro, integramos $ \int x \cos(x) , dx $:
Escolhemos $ u = x $ e $ dv = \cos(x) , dx $. Então, $ du = dx $ e $ v = \sin(x) $.
Aplicando a integração por partes:
integral x cos(x) , dx

Passo 7

Agora, integramos $ \int x \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) , dx $:
Escolhemos $ u = x $ e $ dv = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) , dx $. Assim, $ du = dx $ e $ v = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) $.
Aplicando a integração por partes:
integral x cos(x + pi3) , dx

Passo 8

Substituindo de volta na expressão principal:
[ x sin(x) + cos(x) - x sin(x + pi3) - cos(x + pi3) ] g|0^pi6

Passo 9

Calculando nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{6} $:
x = pi6
Sabendo que $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $, $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, temos:
pi6 cdot sin(pi6) + cos(pi6) - pi6 cdot sin(pi2) - cos(pi2)
Para $ x = 0 $:
sin(pi6) = 12

Passo 10

Calculando a diferença:
( pi12 + raiz32 - pi6 ) - 12 = raiz32 - pi12 - 12

Passo 11

Simplificando os termos:
raiz3 - 12 - pi12

Resposta

A integral dupla vale $ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\pi}{12} $.

Exercícios relacionados