(1,0 ponto) Dada a função
, determine a sua derivada em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = e{-x{2}} \cdot \cos(\pi x) $ e precisa encontrar a derivada dessa função no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos usar as regras de derivação que envolvem funções exponenciais e trigonométricas, além da regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto. Ou seja, se temos $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ f’(x) $ é:
No nosso caso, $ u(x) = e{-x{2}} $ e $ v(x) = \cos(\pi x) $.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
-
Derivada de $ u(x) = e{-x{2}} $:Usamos a Regra da Cadeia. A derivada de $ e^{g(x)} $ é $ e^{g(x)} \cdot g’(x) $.Aqui, $ g(x) = -x^{2} $, então $ g’(x) = -2x $.Portanto,
-
Derivada de $ v(x) = \cos(\pi x) $:Também usamos a Regra da Cadeia. A derivada de $ \cos(g(x)) $ é $ -\sin(g(x)) \cdot g’(x) $.Aqui, $ g(x) = \pi x $, então $ g’(x) = \pi $.Portanto,
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, queremos a derivada no ponto $ x = 0 $. Vamos substituir $ x = 0 $ na expressão de $ f’(x) $:
Simplificando cada termo:
- $ -2(0) e^{0} \cos(0) = 0 $
- $ -\pi e^{0} \sin(0) = -\pi \cdot 1 \cdot 0 = 0 $
Então,
Resposta
A derivada da função em $ x = 0 $ é $ 0 $.