(1,0 ponto) Dada a função f(x)=e^-(x^2) cdot cos (pi x), determine a sua derivada em x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = e{-x{2}} \cdot \cos(\pi x) $ e precisa encontrar a derivada dessa função no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos usar as regras de derivação que envolvem funções exponenciais e trigonométricas, além da regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto. Ou seja, se temos $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ f’(x) $ é:
f(x) = u(x) cdot v(x)
No nosso caso, $ u(x) = e{-x{2}} $ e $ v(x) = \cos(\pi x) $.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
  1. Derivada de $ u(x) = e{-x{2}} $:
    Usamos a Regra da Cadeia. A derivada de $ e^{g(x)} $ é $ e^{g(x)} \cdot g’(x) $.
    Aqui, $ g(x) = -x^{2} $, então $ g’(x) = -2x $.
    Portanto,
    u(x)
  2. Derivada de $ v(x) = \cos(\pi x) $:
    Também usamos a Regra da Cadeia. A derivada de $ \cos(g(x)) $ é $ -\sin(g(x)) \cdot g’(x) $.
    Aqui, $ g(x) = \pi x $, então $ g’(x) = \pi $.
    Portanto,
    v(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = (-2x e^-x^2) cdot cos(pi x) + e^-x^2 cdot (-pi sin(pi x))
Simplificando:
f'(x) = -2x e^-x^2 cos(pi x) - pi e^-x^2 sin(pi x)

Passo 5

Finalmente, queremos a derivada no ponto $ x = 0 $. Vamos substituir $ x = 0 $ na expressão de $ f’(x) $:
x = 0
Simplificando cada termo:
  1. $ -2(0) e^{0} \cos(0) = 0 $
  2. $ -\pi e^{0} \sin(0) = -\pi \cdot 1 \cdot 0 = 0 $
Então,
x = 0

Resposta

A derivada da função em $ x = 0 $ é $ 0 $.

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