Descreva o enunciado do Teorema de Green. Qual o seu significado e a sua aplicação? Apresente um exemplo.
Passo 1
O enunciado é sobre integrar um campo vetorial no contorno de uma região plana e relacionar essa integral de linha com uma integral dupla sobre a própria região. O conteúdo é o Teorema de Green, do cálculo vetorial, e vamos precisar de um campo vetorial
cujas derivadas parciais sejam contínuas numa região simplesmente conexa.
Passo 2
Para uma região
do plano e sua fronteira orientada positivamente (C no sentido anti-horário), o Teorema de Green afirma:
O significado físico ou geométrico é que a circulação do campo
Passo 3
Na prática, isso serve para simplificar o cálculo de integrais de linha: em vez de parametrizar
, podemos calcular uma integral dupla sobre
, o que às vezes é muito mais fácil.
Passo 4
Exemplo: seja
a circunferência unitária
orientada positivamente e o campo
. Temos
Então
Pelo Teorema de Green:
Resposta
O Teorema de Green diz que
$$\oint_C P,dx + Q,dy = \iint_D \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr),dA.
$$
No exemplo da circunferência unitária com , a integral de linha vale
.
No exemplo da circunferência unitária com