Descreva o enunciado do Teorema de Green. Qual o seu significado e a sua aplicação? Apresente um exemplo.

Passo 1

O enunciado é sobre integrar um campo vetorial no contorno de uma região plana e relacionar essa integral de linha com uma integral dupla sobre a própria região. O conteúdo é o Teorema de Green, do cálculo vetorial, e vamos precisar de um campo vetorial F=(P,Q) cujas derivadas parciais sejam contínuas numa região simplesmente conexa.

Passo 2

Para uma região D do plano e sua fronteira orientada positivamente (C no sentido anti-horário), o Teorema de Green afirma:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) ,dA
O significado físico ou geométrico é que a circulação do campo (P,Q) ao longo do contorno C é igual à soma (integral) da rotação local (o “curl” bidimensional) dentro de D. Em outras palavras, quantifica o quanto o campo gira no interior comparado ao que circula na borda.

Passo 3

Na prática, isso serve para simplificar o cálculo de integrais de linha: em vez de parametrizar C, podemos calcular uma integral dupla sobre D, o que às vezes é muito mais fácil.

Passo 4

Exemplo: seja C a circunferência unitária x^2+y^2=1 orientada positivamente e o campo F=(-y,,x). Temos
P(x,y)=-y, Q(x,y)=x
Então
partial Qpartial x-partial Ppartial y=1-(-1)=2
Pelo Teorema de Green:
ointC(-y,dx + x,dy)=integral duplaD 2,dA=2cdot área(D)=2piá

Resposta

O Teorema de Green diz que
$$\oint_C P,dx + Q,dy = \iint_D \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr),dA.
$$
No exemplo da circunferência unitária com ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA , a integral de linha vale F=(-y,x).

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