ponto) Certas combinações das funções exponenciais
e
surgem frequentemente em matemática e suas aplicações e, por isso, recebem nomes especiais. Elas são análogas, de muitas maneiras, às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que as funções trigonométricas têm com o círculo, por essa razão são chamadas coletivamente de funções hiperbólicas. O seno e o cosseno hiperbólico são definidos respectivamente por:
Sabendo disto, mostre que:
.
Passo 1
Resumo do enunciado: O exercício define as funções hiperbólicas
e
e pede para mostrar que suas derivadas são trocadas entre si. O conteúdo principal aqui é derivada de funções exponenciais, usando a regra da cadeia.
Passo 2
Aplicamos a derivada da função seno hiperbólico:
A função é dada por
[\operatorname{senh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}]
Logo,
[\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{dx}e^x - \frac{d}{dx}e^{-x}\Bigr)]
Usando e
, temos
[\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\frac{1}{2}\bigl(e^x + e^{-x}\bigr)=\cosh(x)]
A função
[\operatorname{senh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}]
Logo,
[\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{dx}e^x - \frac{d}{dx}e^{-x}\Bigr)]
Usando
[\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\frac{1}{2}\bigl(e^x + e^{-x}\bigr)=\cosh(x)]
Passo 3
Agora derivamos a função cosseno hiperbólico:
A função é
[\cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2}]
Assim,
[\frac{d}{dx}\cosh(x)=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{dx}e^x + \frac{d}{dx}e{-x}\Bigr)=\frac{1}{2}\bigl(ex - e^{-x}\bigr)=\operatorname{senh}(x)]
A função
[\cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2}]
Assim,
[\frac{d}{dx}\cosh(x)=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{dx}e^x + \frac{d}{dx}e{-x}\Bigr)=\frac{1}{2}\bigl(ex - e^{-x}\bigr)=\operatorname{senh}(x)]
Resposta
As derivadas são
e
.