(1,0 ponto) Certas combinações das funções exponenciais e^x e e^-x surgem frequentemente em matemática e suas aplicações e, por isso, recebem nomes especiais. Elas são análogas, de muitas maneiras, às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que as funções trigonométricas têm com o círculo, por essa razão são chamadas coletivamente de funções hiperbólicas. O seno e o cosseno hiperbólico são definidos respectivamente por:
senh(x)=e^x-e^-x2 e cosh (x)=e^x+e^-x2
Sabendo disto, mostre que:
dd x(senh(x))=cosh (x) e dd x(cosh (x))=senh(x).

Passo 1

Resumo do enunciado: O exercício define as funções hiperbólicas senh(x)=tfrace^x - e^-x2 e cosh(x)=tfrace^x + e^-x2 e pede para mostrar que suas derivadas são trocadas entre si. O conteúdo principal aqui é derivada de funções exponenciais, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a derivada da função seno hiperbólico:
A função senh(x) é dada por
[\operatorname{senh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2}]
Logo,
[\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{dx}e^x - \frac{d}{dx}e^{-x}\Bigr)]
Usando ddxe^x=e^x e ddxe^-x=-e^-x, temos
[\frac{d}{dx}\operatorname{senh}(x)=\frac{1}{2}\bigl(e^x + e^{-x}\bigr)=\cosh(x)]

Passo 3

Agora derivamos a função cosseno hiperbólico:
A função cosh(x) é
[\cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2}]
Assim,
[\frac{d}{dx}\cosh(x)=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{d}{dx}e^x + \frac{d}{dx}e{-x}\Bigr)=\frac{1}{2}\bigl(ex - e^{-x}\bigr)=\operatorname{senh}(x)]

Resposta

As derivadas são ddxsenh(x)=cosh(x) e ddxcosh(x)=senh(x).

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