Calcule as integrais duplas nas regiões gerais
Determine o volume do solido plano x-2 y+z=1 e acima da região limitada por x+y=1

Passo 1

A questão pede o volume do sólido delimitado pelo plano x - 2y + z = 1 por cima da região plana D limitada pela reta x + y = 1. O conteúdo aqui é aplicação de integrais duplas para cálculo de volume: vamos tratar z como função de (x,y) e usar V = integral duplaD z,dA.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função z e a região de integração. Da equação do plano x - 2y + z = 1 isolamos
z = 1 - x + 2y
A região D fica no primeiro quadrante e é o triângulo dado por
D = (x,y): 0 <= x <= 1,;0 <= y <= 1 - x
Assim o volume é
V = integral duplaD z,dA = integral duplaD (1 - x + 2y),dA

Passo 3

Agora fazemos a integral interna em y:
integraly=0^1-x(1 - x + 2y),dy = integral0^1-x(1 - x),dy + integral0^1-x2y,dy
Como 1-x é constante em relação a y, temos
integral0^1-x(1 - x),dy = (1 - x)(1 - x) = (1 - x)^2
e
integral0^1-x2y,dy = 2cdot(1 - x)^22 = (1 - x)^2
Somando, a integral em y
integral0^1-x(1 - x + 2y),dy = 2(1 - x)^2

Passo 4

Por fim, integramos em x de 0 a 1:
V = integralx=0^1 2(1 - x)^2,dx = 2 integral0^1 (1 - x)^2,dx
Sabemos que
integral0^1 (1 - x)^2,dx = [-(1 - x)^33]0^1 = 13,
então
V = 2 cdot 13 = 23

Resposta

23

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