Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial dada.
e^3 x(sen 3 y d x+cos 3 y d y)=0 ; y(0)=pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e^3xl(sin3y,dx + cos3y,dyr)=0
com condição inicial y(0)=pi. O conteúdo aqui é de equações diferenciais de primeira ordem separáveis, então vamos precisar reescrever a equação de forma a separar x e y e depois integrar.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por e^3x (que nunca é zero) temos
sin3y,dx + cos3y,dy = 0
Isso implica
dydx = -sin3ycos3y = -tan3y

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em y num lado e os de x no outro:
cot3y,dy = -,dx
Em seguida, integramos ambos os lados:

Passo 4

Calculamos as integrais
integral cot3y,dy = integral -1,dx
Sabemos que
integral cot3y,dy = 13lnl|sin3yr| + C1
e
integral -1,dx = -x + C2
Unificando constantes, obtemos
13lnl|sin3yr| = -x + C

Passo 5

Exponentiando ambos os lados:
lnl|sin3yr| = -3x + 3C implies sin3y = K e^-3x,
onde K=e^3C. Usando y(0)=pi temos sin3pi=0, logo K=0. Assim
sin3y=0
e isso só é possível para todo x se 3y=npi. Como em x=0 vale y(0)=pi, escolhemos n=3, dando y=pi constante.

Passo 6

Concluímos que a única solução que satisfaz a condição inicial é a função constante
y(x)=pi

Resposta

y(x)=pi

Exercícios relacionados