Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com condição inicial . O conteúdo aqui é de equações diferenciais de primeira ordem separáveis, então vamos precisar reescrever a equação de forma a separar e e depois integrar.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero) temos
Isso implica
Passo 3
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em num lado e os de no outro:
Em seguida, integramos ambos os lados:
Passo 4
Calculamos as integrais
Sabemos que
e
integral -1,dx = -x + C2
Unificando constantes, obtemos 13lnl|sin3yr| = -x + C
Passo 5
Exponentiando ambos os lados:
lnl|sin3yr| = -3x + 3C implies sin3y = K e^-3x,
onde K=e^3C. Usando y(0)=pi temos sin3pi=0, logo K=0. Assim sin3y=0
e isso só é possível para todo x se 3y=npi. Como em x=0 vale y(0)=pi, escolhemos n=3, dando y=pi constante.
Passo 6
Concluímos que a única solução que satisfaz a condição inicial é a função constante