Resolva as integrais duplas
Passo 1
Ok, vamos resolver a integral dupla $ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi / 4} x \sec^{2} y , dy , dx $. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar áreas ou volumes em situações mais complexas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções em duas variáveis, integrando uma de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $.
Passo 3
Sabemos que a integral de $ \sec^{2} y $ em relação a $ y $ é $ \tan y $. Então, aplicando essa regra:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar em limites específicos.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ \pi/4 $:
Sabemos que $ \tan \frac{\pi}{4} = 1 $ e $ \tan 0 = 0 $, então:
Passo 5
Agora, temos que integrar o resultado em relação a $ x $:
A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{2}x^{2} $.
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ 2 $:
Resposta
O valor da integral dupla é $ 2 $.