Determine se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral.
e^y cos x y[y d x+(x+tg x y) d y]=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a equação diferencial que você enviou é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente quando trabalhamos com equações exatas. Para resolver isso, vamos precisar identificar as funções que acompanham $ dx $ e $ dy $, verificar se a condição de exatidão é satisfeita e, se estiver, integrar para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
e^y cos x cdot y [ y , dx + (x + tan x cdot y) , dy ] = 0
Podemos reorganizar essa equação para identificar melhor as funções que acompanham $ dx $ e $ dy $:
dx
Onde:
dy
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ e ver se elas são iguais.
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
M
y
Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
N
x
partial Mpartial y
Observando as duas derivadas, vemos que elas não são iguais:
M = e^y cos x cdot y^2
Isso significa que a equação não é exata.

Passo 4

Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao ser multiplicado na equação original, torne-a exata. Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de $ x $ ou de $ y $.
Vamos assumir que o fator integrante $ \mu $ depende apenas de $ x $. Então, temos:
x
A condição para que a equação seja exata é:
y
Calculando:
mu
Isso simplifica para uma expressão que depende de $ x $, indicando que podemos integrar para encontrar $ \mu(x) $.
Depois de calcular, encontramos que:
x
Multiplicando a equação original por $ \mu(x) $, a equação se torna exata.

Resposta

A equação diferencial é exata quando multiplicada por $ \frac{1}{e^{y} \cos x} $, e a solução geral é:
1e^y cos x
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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