Determine se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a equação diferencial que você enviou é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente quando trabalhamos com equações exatas. Para resolver isso, vamos precisar identificar as funções que acompanham $ dx $ e $ dy $, verificar se a condição de exatidão é satisfeita e, se estiver, integrar para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
Podemos reorganizar essa equação para identificar melhor as funções que acompanham $ dx $ e $ dy $:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ e ver se elas são iguais.
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Observando as duas derivadas, vemos que elas não são iguais:
Isso significa que a equação não é exata.
Passo 4
Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao ser multiplicado na equação original, torne-a exata. Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de $ x $ ou de $ y $.
Vamos assumir que o fator integrante $ \mu $ depende apenas de $ x $. Então, temos:
A condição para que a equação seja exata é:
Calculando:
Isso simplifica para uma expressão que depende de $ x $, indicando que podemos integrar para encontrar $ \mu(x) $.
Depois de calcular, encontramos que:
Multiplicando a equação original por $ \mu(x) $, a equação se torna exata.
Resposta
A equação diferencial é exata quando multiplicada por $ \frac{1}{e^{y} \cos x} $, e a solução geral é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.