Calcule as integrais duplas nas regiões indicadas:
$\iint_{R}(x \operatorname{sen}(x y)) d A ; R=\left{(x, y) \in \operatorname{IR}^{2} / 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq 1\right}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x\,\sin(xy)\,dA
na região
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le\pi,\;0\le y\le1\}.
Como o integrando e a região são “bonzinhos”, podemos usar o Teorema de Fubini e escrever
\iint_{R} x\,\sin(xy)\,dA =\int_{x=0}^{\pi}\!\Bigl(\int_{y=0}^{1}x\,\sin(xy)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1}x\,\sin(xy)\,dy = x\int_{0}^{1}\sin(xy)\,dy = x\left[-\frac{\cos(xy)}{x}\right]_{y=0}^{1} = -\cos(x)+\cos(0) =1-\cos(x).

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos(x)\bigr)\,dx =\bigl[x-\sin(x)\bigr]_{0}^{\pi} =\bigl(\pi-0\bigr)-\bigl(0-0\bigr) =\pi.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados