Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo de coeficientes constantes
com
com
A estratégia é encontrar os autovalores e autovetores de
e montar a combinação linear das soluções fundamentais.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico
. Primeiro escrevemos
O determinante é
Passo 3
As raízes do polinômio característico são
Passo 4
Para
, resolvemos
, ou seja
Desses sistemas vem
,
e
livre. Escolhendo
, obtemos a solução real
Passo 5
Para
, resolvemos
e achamos um autovetor complexo
A solução complexa é
. Separando em parte real e imaginária, geramos duas soluções reais independentes:
Passo 6
Como
são independentes, a solução geral é
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
são constantes arbitrárias.