Encontrar a solução geral para os seguintes sistemas de equações diferenciais homogêneos.
\dot{x}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo de coeficientes constantes \dot x = A\,x
com
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
A estratégia é encontrar os autovalores e autovetores de A e montar a combinação linear das soluções fundamentais.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0. Primeiro escrevemos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & -1\\\\ 0 & 2-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A - \lambda I) =(-\lambda)\bigl((2-\lambda)(-\lambda)\bigr) -(-1)\bigl(0\cdot1 - (2-\lambda)\cdot1\bigr) =(2-\lambda)(\lambda^2+1).

Passo 3

As raízes do polinômio característico são
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_{2,3} = \pm i.

Passo 4

Para \lambda_1=2, resolvemos (A-2I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} -2 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix}=0.
Desses sistemas vem v_1=0, v_3=0 e v_2 livre. Escolhendo v=(0,1,0), obtemos a solução real
x^{(1)}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=i, resolvemos (A - iI)u=0 e achamos um autovetor complexo
u = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -i\end{pmatrix}.
A solução complexa é e^{it}u. Separando em parte real e imaginária, geramos duas soluções reais independentes:
x^{(2)}(t)=\Re\bigl(e^{it}u\bigr) =\begin{pmatrix}\cos t\\\ 0\\sin t\end{pmatrix}, \quad x^{(3)}(t)=\Im\bigl(e^{it}u\bigr) =\begin{pmatrix}\sin t\\\ 0\\\ -\,\cos t\end{pmatrix}.

Passo 6

Como x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)} são independentes, a solução geral é
x(t)=C_1\,x^{(1)}(t)+C_2\,x^{(2)}(t)+C_3\,x^{(3)}(t) = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}\cos t\\\ 0\\sin t\end{pmatrix} + C_3 \begin{pmatrix}\sin t\\\ 0\\\ -\,\cos t\end{pmatrix}.

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}\cos t\\\ 0\\sin t\end{pmatrix} + C_3 \begin{pmatrix}\sin t\\\ 0\\\ -\,\cos t\end{pmatrix},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

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