Calcule as integrais duplas nas regiões indicadas:
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A;)R é a região triangular com vérticeséãé(0,0),(1,0)$ e ( 0,1 ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA
onde R é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Para isso, vamos usar o Teorema de Fubini e descrever R como região simples em coordenadas cartesianas.

Passo 2

O triângulo R no primeiro quadrante fica abaixo da reta x+y=1. Logo, para cada x\in[0,1] temos y variando de 0 até 1-x. Assim podemos escrever
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x\}.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, a integral se torna
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1-x}(x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em y:
\int_{y=0}^{1-x}(x^{2}+y^{2})\,dy =\Bigl[x^{2}y+\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1-x} =x^{2}(1-x)+\frac{(1-x)^{3}}{3}.

Passo 5

Vamos simplificar
x^{2}(1-x)+\frac{(1-x)^{3}}{3} = x^{2}-x^{3}+\frac{1-3x+3x^{2}-x^{3}}{3} =\frac{1}{3}-x+2x^{2}-\frac{4x^{3}}{3}.

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{1}{3}-x+2x^{2}-\tfrac{4x^{3}}{3}\Bigr)dx =\Bigl[\tfrac{x}{3}-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{2x^{3}}{3}-\tfrac{x^{4}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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