(Valor até 7 pts.) Calcule \oint_{C} F.ds onde F(x, y)=\left(y^{2}, 3 x y\right) onde C é a fronteira da região D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 4, x^{2}+y^{2} \geq 1, y \geq 0\right\} e C está orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\oint_{C}F\cdot d\mathbf{r},
onde F(x,y)=(y^{2},3xy) e C é a fronteira orientada anti-horário da região
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le4,\;y\ge0\}.
O conteúdo é aplicação do Teorema de Green para curvas fechadas em regiões planas (até mesmo com “buraco”).

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}F\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}(3xy)-\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})\Bigr)\,dA.
Calculemos a derivada mista:
\frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,
logo o integrando é
3y-2y = y.

Passo 3

Para avaliar
\iint_{D}y\,dA
passamos a coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta.
Em D temos 1\le r\le2 e 0\le\theta\le\pi. Então
\iint_{D}y\,dA =\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2}(r\sin\theta)\;r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\sin\theta\Bigl(\int_{1}^{2}r^{2}dr\Bigr)d\theta.
Calculando
\int_{1}^{2}r^{2}dr = \Bigl[\frac{r^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3},
logo
\iint_{D}y\,dA =\frac{7}{3}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta =\frac{7}{3}\Bigl[-\cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{7}{3}\cdot2 =\frac{14}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}

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