Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular a integral dupla
onde o domínio é o retângulo
.
- Informações relevantes que temos:
- As variáveis
e variam independentemente: e . - A função integranda é
.
- As variáveis
Passo 2
Escolha do método de integração (ordem de integração) e justificativa.
- Como o domínio é um retângulo, podemos trocar a ordem de integração livremente.
- Observando a integranda
, fica claro que integrar em primeiro é vantajoso porque aparece o produto . Fazer a substituição transforma em , tornando a integral em muito simples. - Assim, vamos calcular primeiro a integral interna em
:
considerando
como constante nesse passo.
Passo 3
Cálculo da integral interna em
usando substituição.
- Considere a substituição
- Mantendo
como constante, temos
- Aplicando a substituição, os limites mudam: quando
tem ; quando tem . Então
- Integrando em
(lembrando que é constante):
- Portanto a integral interna em
é
Passo 4
Cálculo da integral externa em
(agora uma integral simples de uma variável).
- A integral dupla inteira reduz-se a
- Para calcular
usamos a fórmula de integração por partes:
Escolhemos
(então
) e
. Assim
- Aplicando integração por partes:
- Calcule cada termo separadamente.
- Primeiro termo:
E , então o primeiro termo é . - Segundo termo:
- Somando os termos,
- Finalmente, lembrando do fator
externo: