Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} x^{2} y \cos \left(x y^{2}\right) d x d y, onde D=[0, \pi / 2] \times[0,2];

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular a integral dupla
\iint_{D} x^{2} y \cos\!\bigl(x y^{2}\bigr)\,dx\,dy,
onde o domínio é o retângulo D=[0,\pi/2]\times[0,2].
  • Informações relevantes que temos:
    • As variáveis x e y variam independentemente: 0\le x\le \pi/2 e 0\le y\le 2.
    • A função integranda é x^{2}y\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr).

Passo 2

Escolha do método de integração (ordem de integração) e justificativa.
  • Como o domínio é um retângulo, podemos trocar a ordem de integração livremente.
  • Observando a integranda x^{2}y\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr), fica claro que integrar em y primeiro é vantajoso porque aparece o produto y\cos(xy^{2}). Fazer a substituição u=y^{2} transforma y\,dy em \tfrac{1}{2}du, tornando a integral em y muito simples.
  • Assim, vamos calcular primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{2} x^{2}y\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\,dy,
considerando x como constante nesse passo.

Passo 3

Cálculo da integral interna em y usando substituição.
  • Considere a substituição
u=y^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2y\,dy\quad\Rightarrow\quad y\,dy=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Mantendo x como constante, temos
\int_{0}^{2} x^{2}y\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\,dy = x^{2}\int_{y=0}^{y=2} y\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\,dy.
  • Aplicando a substituição, os limites mudam: quando y=0 tem u=0; quando y=2 tem u=4. Então
x^{2}\int_{0}^{2} y\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\,dy = x^{2}\int_{0}^{4} \cos\!(x u)\cdot\tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{x^{2}}{2}\int_{0}^{4}\cos\!(x u)\,du.
  • Integrando em u (lembrando que x é constante):
\int_{0}^{4}\cos\!(x u)\,du=\left[\frac{1}{x}\sin\!(x u)\right]_{0}^{4}=\frac{1}{x}\sin\!(4x)-\frac{1}{x}\sin(0)=\frac{1}{x}\sin\!(4x).
  • Portanto a integral interna em y é
\tfrac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\sin\!(4x)=\frac{x}{2}\sin\!(4x).

Passo 4

Cálculo da integral externa em x (agora uma integral simples de uma variável).
  • A integral dupla inteira reduz-se a
\iint_{D} x^{2}y\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\,dx\,dy =\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{x}{2}\sin\!(4x)\right)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} x\sin\!(4x)\,dx.
  • Para calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} x\sin\!(4x)\,dx usamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=x (então du=dx) e dv=\sin\!(4x)\,dx. Assim
v=\int \sin\!(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos\!(4x).
  • Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\pi/2} x\sin\!(4x)\,dx = \left[-\frac{x}{4}\cos\!(4x)\right]_{0}^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{4}\cos\!(4x)\,dx.
  • Calcule cada termo separadamente.
    • Primeiro termo:
    \left[-\frac{x}{4}\cos\!(4x)\right]_{0}^{\pi/2} = -\frac{\pi/2}{4}\cos\!(4\cdot\tfrac{\pi}{2}) - \left(-\frac{0}{4}\cos 0\right) = -\frac{\pi}{8}\cos(2\pi).E \cos(2\pi)=1, então o primeiro termo é -\dfrac{\pi}{8}.
    • Segundo termo:
    \int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{4}\cos\!(4x)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\sin\!(4x)\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{16}\bigl(\sin(2\pi)-\sin 0\bigr)=\frac{1}{16}(0-0)=0.
  • Somando os termos,
\int_{0}^{\pi/2} x\sin\!(4x)\,dx = -\frac{\pi}{8}.
  • Finalmente, lembrando do fator \tfrac{1}{2} externo:
\iint_{D} x^{2}y\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)\,dx\,dy = \frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\pi}{16}.

Resposta

-\dfrac{\pi}{16}

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