Calcule as seguintes integrais duplas se
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o domínio
da função
. Em outras palavras, calcular
Informações dadas:
- O domínio é o quadrado
. - A integranda é
. - A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Plano de resolução (sem começar a calcular ainda): como a integranda
é contínua em todo o quadrado
, pode-se aplicar a troca de ordem e calcular a integral por iteração (teorema de Fubini). Vou integrar primeiro em
(isto é, calcular
para
fixo) porque, para
fixo, a derivada de
em relação a
é exatamente
. Isso torna a integração imediata e evita integrações por partes. (Se integrássemos primeiro em
seria preciso fazer integração por partes ou outro truque.)
Passo 3
Calcular a integral interna em
para
fixo.
Observação útil: derivando
em relação a
obtém-se
Logo, para qualquer
fixo (incluindo o caso
, que será tratado por continuidade), vale
Nota sobre
: quando
a integranda é identicamente zero, então a integral em
também é
; isso coincide com o limite de
quando
, portanto não há problema.
Passo 4
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em
do resultado do passo anterior:
Passo 5
Calcular a integral em
. Integrais básicas:
Aplicando os limites:
Passo 6
Breve verificação mental: o valor é finito e razoável; a escolha de integrar em
primeiro foi a mais direta porque
é exatamente a derivada em
de
, evitando etapas extras.