Calcule as seguintes integrais duplas se D=[0,1] \times[0,1]
\iint_{D} y e^{x y} d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o domínio D = [0,1]\times[0,1] da função f(x,y)=y e^{x y}. Em outras palavras, calcular
\iint_{D} y e^{x y}\, dx\, dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} y e^{x y}\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • O domínio é o quadrado D=[0,1]\times[0,1].
  • A integranda é y e^{x y}.
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Plano de resolução (sem começar a calcular ainda): como a integranda y e^{x y} é contínua em todo o quadrado D, pode-se aplicar a troca de ordem e calcular a integral por iteração (teorema de Fubini). Vou integrar primeiro em x (isto é, calcular \int_{0}^{1} y e^{x y}\, dx para y fixo) porque, para y fixo, a derivada de e^{x y} em relação a x é exatamente y e^{x y}. Isso torna a integração imediata e evita integrações por partes. (Se integrássemos primeiro em y seria preciso fazer integração por partes ou outro truque.)

Passo 3

Calcular a integral interna em x para y fixo.
Observação útil: derivando e^{x y} em relação a x obtém-se
\frac{d}{dx} e^{x y} = y e^{x y}.
Logo, para qualquer y fixo (incluindo o caso y=0, que será tratado por continuidade), vale
\int_{0}^{1} y e^{x y}\, dx = \bigl[e^{x y}\bigr]_{x=0}^{x=1} = e^{y} - e^{0} = e^{y} - 1.
Nota sobre y=0: quando y=0 a integranda é identicamente zero, então a integral em x também é 0; isso coincide com o limite de e^{y}-1 quando y\to 0, portanto não há problema.

Passo 4

Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em y do resultado do passo anterior:
\iint_{D} y e^{x y}\, dx\, dy = \int_{0}^{1}\bigl(e^{y}-1\bigr)\, dy.

Passo 5

Calcular a integral em y. Integrais básicas:
\int e^{y}\, dy = e^{y},\qquad \int 1\, dy = y.
Aplicando os limites:
\int_{0}^{1}\bigl(e^{y}-1\bigr)\, dy = \bigl[e^{y}-y\bigr]_{0}^{1} = (e-1)-(1-0) = e-2.

Passo 6

Breve verificação mental: o valor é finito e razoável; a escolha de integrar em x primeiro foi a mais direta porque y e^{x y} é exatamente a derivada em x de e^{x y}, evitando etapas extras.

Resposta

e-2

Exercícios relacionados