Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} x^{2} e^{x y} d x d y, onde D=[0,1] \times[0,2];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\,dx\,dy,
onde D=[0,1]\times[0,2]. Informação dada:
  • A região D é o retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 2.
  • A função integrando é f(x,y)=x^{2}e^{x y}.
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla sobre D?

Passo 2

Justificativa do método: a função f(x,y)=x^{2}e^{x y} é contínua em todo o retângulo D. Pelo teorema de Fubini, para funções contínuas em retângulos vale
\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx =\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{1} f(x,y)\,dx\right)dy,
ou seja, pode-se calcular como integral iterada por qualquer ordem. Vou escolher integrar primeiro em y (mantendo x fixo) porque a primitiva de e^{x y} em relação a y é simples: \int e^{x y}dy=(1/x)e^{x y} quando x\neq0. Esse caminho evita tratamentos técnicos e simplifica os cálculos.

Passo 3

Calcular a integral interna em y (para x fixo). Para x fixo temos
\int_{y=0}^{2} x^{2} e^{x y}\,dy.
Aqui x^{2} é constante em relação a y. A primitiva de e^{x y} em y é (1/x)e^{x y} (para x\neq0); no caso x=0 a integranda é 0 e a integral em y é 0, o que coincide com o limite obtido pela primitiva quando x\to0. Assim,
\int_{y=0}^{2} x^{2} e^{x y}\,dy = x^{2}\left[\frac{1}{x}e^{x y}\right]_{y=0}^{y=2} = x^{2}\cdot\frac{1}{x}\bigl(e^{2x}-e^{0}\bigr) = x\bigl(e^{2x}-1\bigr).

Passo 4

Agora integrar em x de 0 a 1:
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\,dx\,dy =\int_{x=0}^{1} x\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx =\int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx-\int_{0}^{1} x\,dx.
A integral \int_{0}^{1} x\,dx é fácil:
\int_{0}^{1} x\,dx=\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Para \int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e v são funções escolhidas de modo conveniente. Escolhendo u=x e dv=e^{2x}dx temos du=dx e v=\tfrac{1}{2}e^{2x}. Aplicando:
\int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx =\left[x\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\tfrac{1}{2}e^{2x}\,dx.
Calcule as partes separadamente:
\left[x\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}\,e^{2}\cdot1 - 0=\tfrac{1}{2}e^{2},
e
\int_{0}^{1}\tfrac{1}{2}e^{2x}\,dx=\tfrac{1}{2}\left[\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{4}\bigl(e^{2}-1\bigr).
Portanto
\int_{0}^{1} x e^{2x}\,dx=\tfrac{1}{2}e^{2}-\tfrac{1}{4}\bigl(e^{2}-1\bigr) =\tfrac{1}{2}e^{2}-\tfrac{1}{4}e^{2}+\tfrac{1}{4} =\tfrac{1}{4}e^{2}+\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Agora volte à expressão total:
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\,dx\,dy =\left(\tfrac{1}{4}e^{2}+\tfrac{1}{4}\right)-\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{4}e^{2}+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{4}\bigl(e^{2}-1\bigr).

Resposta

\dfrac{1}{4}\bigl(e^{2}-1\bigr)

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