Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
. Informação dada:
- A região
é o retângulo com variando de a e variando de a . - A função integrando é
.
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral dupla sobre
?
Passo 2
Justificativa do método: a função
é contínua em todo o retângulo
. Pelo teorema de Fubini, para funções contínuas em retângulos vale
ou seja, pode-se calcular como integral iterada por qualquer ordem. Vou escolher integrar primeiro em
(mantendo
fixo) porque a primitiva de
em relação a
é simples:
quando
. Esse caminho evita tratamentos técnicos e simplifica os cálculos.
Passo 3
Calcular a integral interna em
(para
fixo). Para
fixo temos
Aqui
é constante em relação a
. A primitiva de
em
é
(para
); no caso
a integranda é
e a integral em
é
, o que coincide com o limite obtido pela primitiva quando
. Assim,
Passo 4
Agora integrar em
de
a
:
A integral
é fácil:
Para
usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas de modo conveniente. Escolhendo
e
temos
e
. Aplicando:
Calcule as partes separadamente:
e
Portanto
Passo 5
Agora volte à expressão total: