Calcule as seguintes integrais duplas se
, onde
e
são inteiros positivos;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o quadrado unitário
:
onde
e
são inteiros positivos.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região de integração é
. - A função integranda é
. -
e são inteiros positivos.
Passo 2
Observação sobre a integranda e a região: a função
é o produto de uma função só de
,
, por uma função só de
,
. Em regiões retangulares como
, funções contínuas permitem separar a integral dupla em produto de integrais simples (teorema de Fubini / propriedade de produtos). Portanto vale a igualdade abaixo (escrevo-a como identidade de integrais iteradas e separação):
Passo 3
Agora preciso calcular a integral simples
. Vou lembrar e explicar a regra de potência para integrais indefinidas:
- Para qualquer número real
diferente de , tem-se
onde
é a constante de integração. Aqui
e, como
é inteiro positivo,
e a fórmula é válida.
Aplicando a regra como integral definida de
a
:
Explicando passo a passo: primeiro obtém-se a antiderivada
; depois avalia-se nos limites
e
. Como
e
, o resultado é
.
Passo 4
De forma análoga para
:
Mesma ideia: regra de potência para integrais, antiderivada
, avaliação nos limites dá
.
Passo 5
Voltando à separação obtida no Passo 2, multiplica-se os dois resultados das integrais simples:
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
É sempre esse procedimento: separar (quando possível), integrar em cada variável usando a regra de potência, e multiplicar os resultados.