Calcule as seguintes integrais duplas se D=[0,1] \times[0,1]
\iint_{D}\left(x^{m} y^{n}\right) d x d y, onde n e m são inteiros positivos;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o quadrado unitário D=[0,1]\times[0,1]:
\iint_{D} \left(x^{m} y^{n}\right)\,dx\,dy,
onde m e n são inteiros positivos.
Informações dadas:
  • A região de integração é D=[0,1]\times[0,1].
  • A função integranda é f(x,y)=x^{m}y^{n}.
  • m e n são inteiros positivos.

Passo 2

Observação sobre a integranda e a região: a função f(x,y)=x^{m}y^{n} é o produto de uma função só de x, x^{m}, por uma função só de y, y^{n}. Em regiões retangulares como D=[0,1]\times[0,1], funções contínuas permitem separar a integral dupla em produto de integrais simples (teorema de Fubini / propriedade de produtos). Portanto vale a igualdade abaixo (escrevo-a como identidade de integrais iteradas e separação):
\iint_{D} x^{m}y^{n}\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x^{m}y^{n}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\!\Big(\int_{0}^{1} x^{m}\,dx\Big)\,y^{n}\,dy = \Big(\int_{0}^{1} x^{m}\,dx\Big)\Big(\int_{0}^{1} y^{n}\,dy\Big).

Passo 3

Agora preciso calcular a integral simples \int_{0}^{1} x^{m}\,dx. Vou lembrar e explicar a regra de potência para integrais indefinidas:
  • Para qualquer número real k diferente de -1, tem-se
\int x^{k}\,dx = \frac{x^{k+1}}{k+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui k=m e, como m é inteiro positivo, m\neq -1 e a fórmula é válida.
Aplicando a regra como integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x^{m}\,dx = \left[\frac{x^{m+1}}{m+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{\,m+1}}{m+1}-\frac{0^{\,m+1}}{m+1} = \frac{1}{m+1}.
Explicando passo a passo: primeiro obtém-se a antiderivada \dfrac{x^{m+1}}{m+1}; depois avalia-se nos limites 1 e 0. Como 1^{m+1}=1 e 0^{m+1}=0, o resultado é \dfrac{1}{m+1}.

Passo 4

De forma análoga para y:
\int_{0}^{1} y^{n}\,dy = \left[\frac{y^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{n+1}.
Mesma ideia: regra de potência para integrais, antiderivada \dfrac{y^{n+1}}{n+1}, avaliação nos limites dá \dfrac{1}{n+1}.

Passo 5

Voltando à separação obtida no Passo 2, multiplica-se os dois resultados das integrais simples:
\iint_{D} x^{m}y^{n}\,dx\,dy = \left(\frac{1}{m+1}\right)\left(\frac{1}{n+1}\right).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: se m=1 e n=2, então
\iint_{D} x^{1}y^{2}\,dx\,dy = \frac{1}{1+1}\cdot\frac{1}{2+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
É sempre esse procedimento: separar (quando possível), integrar em cada variável usando a regra de potência, e multiplicar os resultados.

Resposta

\dfrac{1}{(m+1)(n+1)}

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