Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla
onde o domínio
é o retângulo
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O domínio é um retângulo centrado na origem, com os mesmos limites em
e : a em ambos os eixos.
O objetivo é obter o valor numérico da integral dupla.
Passo 2
Estratégia e justificativa (fórmula que vou usar).
- A função
é contínua em todo , logo é contínua em . Pelo Teorema de Fubini, a integral dupla sobre o retângulo pode ser calculada como uma integral iterada, e posso integrar numa ordem conveniente. Escrevo:
Vou primeiro calcular a integral interna (em
), tratando
como constante.
Passo 3
Cálculo da integral interna em
.
- Para
fixo, a primitiva em relação a de é , porque . - Então
- Vou simplificar essa diferença usando a identidade trigonométrica
Aplicando com
e
:
Como
, obtemos
Portanto a integral interna é
.
Passo 4
Agora calcule a integral externa em
.
- Substituindo o resultado da integral interna:
- A primitiva de
em relação a é . Logo uma primitiva de é . Assim
Passo 5
Avaliação das funções seno nos extremos e conclusão dos cálculos.
- Usando o círculo unitário:
- Substituindo: