Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} \cos (x+3 y) d x d y, onde D=\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \times\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right];

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{D} \cos(x+3y)\,dx\,dy,
onde o domínio D é o retângulo
D = \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x,y)=\cos(x+3y).
  • O domínio é um retângulo centrado na origem, com os mesmos limites em x e y: -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2} em ambos os eixos.
    O objetivo é obter o valor numérico da integral dupla.

Passo 2

Estratégia e justificativa (fórmula que vou usar).
  • A função f(x,y)=\cos(x+3y) é contínua em todo \mathbb{R}^2, logo é contínua em D. Pelo Teorema de Fubini, a integral dupla sobre o retângulo pode ser calculada como uma integral iterada, e posso integrar numa ordem conveniente. Escrevo:
\iint_{D}\cos(x+3y)\,dx\,dy = \int_{y=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_{x=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x+3y)\,dx\right)dy.
Vou primeiro calcular a integral interna (em x), tratando y como constante.

Passo 3

Cálculo da integral interna em x.
  • Para y fixo, a primitiva em relação a x de \cos(x+3y) é \sin(x+3y), porque \dfrac{d}{dx}\sin(x+3y)=\cos(x+3y).
  • Então
\int_{x=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x+3y)\,dx = \left.\sin(x+3y)\right|_{x=-\frac{\pi}{2}}^{x=\frac{\pi}{2}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+3y\right)-\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}+3y\right).
  • Vou simplificar essa diferença usando a identidade trigonométrica
\sin A-\sin B = 2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Aplicando com A=\tfrac{\pi}{2}+3y e B=-\tfrac{\pi}{2}+3y:
\frac{A+B}{2}=3y,\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{\pi}{2}.
Como \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+3y\right)-\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}+3y\right) =2\cos(3y)\cdot 1 = 2\cos(3y).
Portanto a integral interna é 2\cos(3y).

Passo 4

Agora calcule a integral externa em y.
  • Substituindo o resultado da integral interna:
\iint_{D}\cos(x+3y)\,dx\,dy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(3y)\,dy.
  • A primitiva de \cos(3y) em relação a y é \frac{1}{3}\sin(3y). Logo uma primitiva de 2\cos(3y) é \frac{2}{3}\sin(3y). Assim
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(3y)\,dy = \left.\frac{2}{3}\sin(3y)\right|_{y=-\frac{\pi}{2}}^{y=\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3}\bigl(\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)-\sin\!\left(-\tfrac{3\pi}{2}\right)\bigr).

Passo 5

Avaliação das funções seno nos extremos e conclusão dos cálculos.
  • Usando o círculo unitário:
\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1,\qquad \sin\!\left(-\tfrac{3\pi}{2}\right)=1.
  • Substituindo:
\frac{2}{3}\bigl(\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)-\sin\!\left(-\tfrac{3\pi}{2}\right)\bigr) = \frac{2}{3}\bigl(-1-1\bigr)=\frac{2}{3}\cdot(-2)=-\frac{4}{3}.

Resposta

-\dfrac{4}{3}

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