Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo: \iint_{D} x y d x d y, onde D=[0,1] \times[0,2];
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} x y \, dx\,dy,
onde D=[0,1]\times[0,2].
Informações dadas:
A região D é o retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 2.
A função a ser integrada é f(x,y)=x y.
O que se pede: obter o valor numérico da integral dupla acima.
Passo 2
Ideia geral e justificativa do método (sem cálculos ainda).
A função f(x,y)=x y é contínua em todo o retângulo D, logo a integral dupla existe e podemos usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em integrais iteradas. Uma forma muito conveniente para funções que são produto de uma função só de x por uma só de y (ou seja, f(x,y)=g(x)h(y)) é usar a propriedade de separação:
quando D=[a,b]\times[c,d]. Aqui g(x)=x e h(y)=y. Vou aplicar essa propriedade porque simplifica muito os cálculos.
Passo 3
Aplicando a separação ao nosso caso.
Escrevendo explicitamente,
\iint_{D} x y \, dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} x \, dx\right)\left(\int_{0}^{2} y \, dy\right).
Explicando passo a passo: ao fixar x, a integral interna em y de x y é x vezes a integral de y; como x é constante em relação a y, ele sai da integral em y. Isso leva exatamente à fatoração acima.
Passo 4
Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{1} x \, dx.
Usa-se a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=1, logo uma antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 1,
\int_{0}^{1} x \, dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Passo 5
Calcular a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{2} y \, dy.
Aplicando a mesma regra (agora em y):
\int_{0}^{2} y \, dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2.
Passo 6
Multiplicar os resultados obtidos para concluir a integral dupla.
Temos
\iint_{D} x y \, dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} x \, dx\right)\left(\int_{0}^{2} y \, dy\right) = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
Passo 7
Cheque rápido por iteração direta (mesma resposta, só para reforçar a ideia).
Fazer a integral como iterada sem fatorar:
\iint_{D} x y \, dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2} x y \, dy\right)dx.
Na integral interna x é constante, então \int_{0}^{2} x y \, dy = x\int_{0}^{2} y\,dy = x\cdot 2 = 2x. Agora