Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} x y d x d y, onde D=[1,2] \times[1,2];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x y \, dx\,dy,
onde o domínio D é o retângulo [1,2]\times[1,2].
Informações dadas:
  • O integrando é a função f(x,y)=x y.
  • O domínio D tem x variando de 1 a 2 e y variando de 1 a 2.
  • A tarefa é avaliar numericamente a integral dupla sobre esse retângulo.

Passo 2

Ideia e ferramentas que vou usar (explicação didática):
  • Como f(x,y)=x y é contínua em D, o Teorema de Fubini permite transformar a integral dupla em uma integral iterada. Em forma geral vale:
\iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=1}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx =\int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=1}^{2} f(x,y)\,dx\right)dy.
  • Propriedade útil: se a função é produto de uma função só de x e outra só de y, ou seja f(x,y)=g(x)h(y), então a integral sobre o retângulo separa em produto de integrais simples:
\iint_{D} g(x)h(y)\,dA=\left(\int_{1}^{2} g(x)\,dx\right)\left(\int_{1}^{2} h(y)\,dy\right).
No nosso caso g(x)=x e h(y)=y, logo podemos usar essa separação ou calcular como integral iterada normalmente.
  • Regra básica de integração que vou usar: para n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Em particular \int t\,dt=\dfrac{t^{2}}{2}.

Passo 3

Calcular a integral iterada escolhendo integrar primeiro em relação a y. Escrevo a integral iterada:
\int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=1}^{2} x y\,dy\right)dx.
No interior, x é constante em relação a y, então posso tirar x para fora da integral em y:
\int_{y=1}^{2} x y\,dy = x\int_{y=1}^{2} y\,dy.
Agora uso a fórmula \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2} e avalio de 1 a 2:
\int_{y=1}^{2} y\,dy=\left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
Portanto a integral interna vale
\int_{y=1}^{2} x y\,dy = x\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\,x.

Passo 4

Agora integro em relação a x:
\int_{x=1}^{2} \dfrac{3}{2}\,x\,dx = \dfrac{3}{2}\int_{x=1}^{2} x\,dx.
Calculo a integral \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2} e avalio de 1 a 2:
\int_{x=1}^{2} x\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
Logo a integral dupla ficou reduzida ao produto
\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{3}{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (mais curta, usando separação):
Como f(x,y)=x\,y=g(x)h(y), vale
\iint_{D} x y\,dA=\left(\int_{1}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2} y\,dy\right).
Cada uma dessas integrais simples já foi calculada e vale \dfrac{3}{2}, então o produto é
\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{9}{4}

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