Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde o domínio
é o retângulo
.
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - O domínio
tem variando de a e variando de a . - A tarefa é avaliar numericamente a integral dupla sobre esse retângulo.
Passo 2
Ideia e ferramentas que vou usar (explicação didática):
- Como
é contínua em , o Teorema de Fubini permite transformar a integral dupla em uma integral iterada. Em forma geral vale:
- Propriedade útil: se a função é produto de uma função só de
e outra só de , ou seja , então a integral sobre o retângulo separa em produto de integrais simples:
No nosso caso
e
, logo podemos usar essa separação ou calcular como integral iterada normalmente.
- Regra básica de integração que vou usar: para
,
Em particular
.
Passo 3
Calcular a integral iterada escolhendo integrar primeiro em relação a
. Escrevo a integral iterada:
No interior,
é constante em relação a
, então posso tirar
para fora da integral em
:
Agora uso a fórmula
e avalio de
a
:
Portanto a integral interna vale
Passo 4
Agora integro em relação a
:
Calculo a integral
e avalio de
a
:
Logo a integral dupla ficou reduzida ao produto
Passo 5
Verificação alternativa (mais curta, usando separação):
Como , vale
Como
Cada uma dessas integrais simples já foi calculada e vale
, então o produto é