Determine a área da região descrita.
A região interna à cardióide
e externa ao círculo
.
A região interna à cardióide
Passo 1
O enunciado pede a área da região que é interna à cardióide
e, ao mesmo tempo, externa ao círculo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Equação da cardióide:
. - Equação do círculo:
.
O que devemos encontrar: a área da parte do plano cujo ponto, em coordenadas polares, satisfaz que está dentro da cardióide (isto é, menor ou igual a ) e fora do círculo (isto é, maior ou igual a ). Em outras palavras, para cada tal que a cardióide fica por fora do círculo, os válidos vão de até . Precisamos descobrir para quais isso ocorre e então integrar para obter a área.
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) a fórmula de área em coordenadas polares, porque é a ferramenta principal aqui.
- Ideia intuitiva: um setor angular pequeno de largura
e raio tem área aproximada de . Portanto, se numa direção a região vai de até , a área infinitesimal dessa fatia é
- Para a área total, integra-se sobre as
onde a região existe:
Aqui
é a fronteira mais externa (a cardióide) e
é a fronteira interna (o círculo
), mas isso só vale quando
. Primeiro devemos achar o intervalo em
em que a cardióide fica por fora do círculo.
Passo 3
Determinar para quais
vale
.
Resolver a desigualdade:
No círculo trigonométrico,
ocorre em
. A região onde
é o arco central simétrico em torno de
, ou seja
Para esses
a cardióide tem valor igual ou maior que
, então há pontos entre
e
. Para
fora desse intervalo não existe
que satisfaça simultaneamente
e
, então a região não existe lá.
Passo 4
Agora escrevo a integral da área usando a fórmula polar com os limites de
encontrados:
Vou expandir o integrando passo a passo para ficar bem claro:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Fazendo as contas:
Subtraindo
(que é
):
Logo
Passo 5
Procedo à integração. Observação útil: a função do integrando
é par (pois
e
são pares), e o intervalo é simétrico em torno de zero, então posso escrever
Calculo a antiderivada (cada termo separado):
Portanto uma primitiva é
Avalio de
a
:
- Primeiro
. Usando e ,
- Depois
. Como e ,
Então a integral vale
Passo 6
Concluindo e apresentando de forma bonita: a área da região pedida é
Se quiser um valor numérico aproximado,
Força aí — o raciocínio essencial foi: achar onde a cardióide fica por fora do círculo, montar a integral polar com
indo de
até
e integrar. Dá pra decorar o esquema e aplicar em questões parecidas na prova.