Determine a área da região descrita.
A região interna à cardióide r=2+2 \cos \theta e externa ao círculo r=3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que é interna à cardióide r=2+2\cos\theta e, ao mesmo tempo, externa ao círculo r=3.
Informações dadas:
  • Equação da cardióide: r=2+2\cos\theta.
  • Equação do círculo: r=3.
    O que devemos encontrar: a área da parte do plano cujo ponto, em coordenadas polares (r,\theta), satisfaz que está dentro da cardióide (isto é, r menor ou igual a 2+2\cos\theta) e fora do círculo (isto é, r maior ou igual a 3). Em outras palavras, para cada \theta tal que a cardióide fica por fora do círculo, os r válidos vão de 3 até 2+2\cos\theta. Precisamos descobrir para quais \theta isso ocorre e então integrar para obter a área.

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) a fórmula de área em coordenadas polares, porque é a ferramenta principal aqui.
  • Ideia intuitiva: um setor angular pequeno de largura d\theta e raio r tem área aproximada de \tfrac{1}{2}r^2 d\theta. Portanto, se numa direção \theta a região vai de r=r_{\text{in}}(\theta) até r=r_{\text{out}}(\theta), a área infinitesimal dessa fatia é
dA=\frac{1}{2}\big(r_{\text{out}}(\theta)^2 - r_{\text{in}}(\theta)^2\big)\,d\theta.
  • Para a área total, integra-se sobre as \theta onde a região existe:
A=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\big(r_{\text{out}}(\theta)^2 - r_{\text{in}}(\theta)^2\big)\,d\theta.
Aqui r_{\text{out}}(\theta) é a fronteira mais externa (a cardióide) e r_{\text{in}}(\theta) é a fronteira interna (o círculo r=3), mas isso só vale quando 2+2\cos\theta\ge 3. Primeiro devemos achar o intervalo em \theta em que a cardióide fica por fora do círculo.

Passo 3

Determinar para quais \theta vale 2+2\cos\theta \ge 3.
Resolver a desigualdade:
2+2\cos\theta \ge 3
2\cos\theta \ge 1
\cos\theta \ge \tfrac{1}{2}.
No círculo trigonométrico, \cos\theta=\tfrac{1}{2} ocorre em \theta=\pm \tfrac{\pi}{3}. A região onde \cos\theta\ge \tfrac{1}{2} é o arco central simétrico em torno de \theta=0, ou seja
\theta\in\big[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\big].
Para esses \theta a cardióide tem valor igual ou maior que 3, então há pontos entre r=3 e r=2+2\cos\theta. Para \theta fora desse intervalo não existe r que satisfaça simultaneamente r\le 2+2\cos\theta e r\ge 3, então a região não existe lá.

Passo 4

Agora escrevo a integral da área usando a fórmula polar com os limites de \theta encontrados:
A=\frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\Big((2+2\cos\theta)^2 - 3^2\Big)\,d\theta.
Vou expandir o integrando passo a passo para ficar bem claro:
(2+2\cos\theta)^2 = 4(1+\cos\theta)^2 = 4\big(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\big).
Usando a identidade trigonométrica \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}, obtemos
(2+2\cos\theta)^2 = 4\left(1+2\cos\theta+\tfrac{1+\cos2\theta}{2}\right) =4\left(\tfrac{3}{2}+2\cos\theta+\tfrac{1}{2}\cos2\theta\right).
Fazendo as contas:
(2+2\cos\theta)^2 = 6 + 8\cos\theta + 2\cos2\theta.
Subtraindo 9 (que é 3^2):
(2+2\cos\theta)^2 - 9 = -3 + 8\cos\theta + 2\cos2\theta.
Logo
A=\frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\big(-3 + 8\cos\theta + 2\cos2\theta\big)\,d\theta.

Passo 5

Procedo à integração. Observação útil: a função do integrando -3+8\cos\theta+2\cos2\theta é par (pois \cos\theta e \cos2\theta são pares), e o intervalo é simétrico em torno de zero, então posso escrever
A=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{\pi/3}\big(-3 + 8\cos\theta + 2\cos2\theta\big)\,d\theta =\int_{0}^{\pi/3}\big(-3 + 8\cos\theta + 2\cos2\theta\big)\,d\theta.
Calculo a antiderivada (cada termo separado):
  • \displaystyle\int -3\,d\theta = -3\theta.
  • \displaystyle\int 8\cos\theta\,d\theta = 8\sin\theta.
  • \displaystyle\int 2\cos2\theta\,d\theta = 2\cdot\frac{\sin2\theta}{2} = \sin2\theta.
Portanto uma primitiva é
F(\theta) = -3\theta + 8\sin\theta + \sin2\theta.
Avalio de 0 a \pi/3:
  • Primeiro F(\pi/3). Usando \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(2\cdot\pi/3)=\sin(2\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
F\big(\tfrac{\pi}{3}\big) = -3\cdot\tfrac{\pi}{3} + 8\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\pi + 4\sqrt{3} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\pi + \tfrac{9\sqrt{3}}{2}.
  • Depois F(0). Como \sin 0=0 e \sin 0=0,
F(0)=0.
Então a integral vale
A = F\big(\tfrac{\pi}{3}\big)-F(0) = -\pi + \tfrac{9\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Concluindo e apresentando de forma bonita: a área da região pedida é
A=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\pi.
Se quiser um valor numérico aproximado,
A\approx \frac{9\cdot1{,}73205}{2}-3{,}14159 \approx 7{,}7942-3{,}1416 \approx 4{,}6526.
Força aí — o raciocínio essencial foi: achar onde a cardióide fica por fora do círculo, montar a integral polar com r indo de 3 até 2+2\cos\theta e integrar. Dá pra decorar o esquema e aplicar em questões parecidas na prova.

Resposta

\dfrac{9\sqrt{3}}{2}-\pi

Exercícios relacionados