Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla sobre o retângulo
da função
. Ou seja, pedem para calcular
As informações relevantes são:
- O domínio
é o retângulo com variando de a e variando de a . - A função integranda é
.
O que se pede: avaliar numericamente essa integral dupla.
Passo 2
Podemos transformar a integral dupla num integral iterada (uma integral dentro da outra) porque a função
é contínua em
. Em termos práticos, isso significa que
ou, invertendo a ordem,
Aqui só se usa que o domínio é um retângulo e a integranda é contínua, então a integração iterada é válida.
Passo 3
Uma observação muito útil: a função exponencial separa somas no expoente. Isto é,
Como o domínio é um produto (retângulo), essa separação permite escrever a integral dupla como produto de integrais simples:
Explicando o porquê: ao integrar em
com
fixo,
é constante em relação a
e pode ser fatorado para fora da integral em
; fazendo isso para ambos os integrais obtemos produto de integrais.
Passo 4
Calcular
.
Regra usada: a primitiva de em
é
. Portanto, para integral definida,
Regra usada: a primitiva de
Aqui
é a base do logaritmo natural (aprox.
). Nota didática: quando integrar
, não aparece nenhum coeficiente extra porque a derivada de
é
.
Passo 5
Calcular
é análogo:
Passo 6
Multiplicando os resultados das duas integrais simples, obtemos o valor da integral dupla:
Dica prática para a prova: sempre que vir
num retângulo, pense em separação
e calcule integrais simples; isso poupa trabalho.