Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} e^{x+y} d x d y, onde D=[0,1] \times[0,1];

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla sobre o retângulo D=[0,1]\times[0,1] da função e^{x+y}. Ou seja, pedem para calcular
\iint_{D} e^{x+y}\,dx\,dy
As informações relevantes são:
  • O domínio D é o retângulo com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 1.
  • A função integranda é e^{x+y}.
    O que se pede: avaliar numericamente essa integral dupla.

Passo 2

Podemos transformar a integral dupla num integral iterada (uma integral dentro da outra) porque a função e^{x+y} é contínua em D. Em termos práticos, isso significa que
\iint_{D} e^{x+y}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dx\right)dy
ou, invertendo a ordem,
\iint_{D} e^{x+y}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\!\left(\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy\right)dx.
Aqui só se usa que o domínio é um retângulo e a integranda é contínua, então a integração iterada é válida.

Passo 3

Uma observação muito útil: a função exponencial separa somas no expoente. Isto é,
e^{x+y} = e^{x}\,e^{y}.
Como o domínio é um produto (retângulo), essa separação permite escrever a integral dupla como produto de integrais simples:
\iint_{D} e^{x+y}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1} e^{x}e^{y}\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} e^{x}\,dx\right)\!\left(\int_{0}^{1} e^{y}\,dy\right).
Explicando o porquê: ao integrar em x com y fixo, e^{y} é constante em relação a x e pode ser fatorado para fora da integral em x; fazendo isso para ambos os integrais obtemos produto de integrais.

Passo 4

Calcular \int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
Regra usada: a primitiva de e^{u} em u é e^{u}. Portanto, para integral definida,
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e-1.
Aqui e é a base do logaritmo natural (aprox. 2,71828\ldots). Nota didática: quando integrar e^{x}, não aparece nenhum coeficiente extra porque a derivada de x é 1.

Passo 5

Calcular \int_{0}^{1} e^{y}\,dy é análogo:
\int_{0}^{1} e^{y}\,dy = \bigl[e^{y}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e-1.

Passo 6

Multiplicando os resultados das duas integrais simples, obtemos o valor da integral dupla:
\iint_{D} e^{x+y}\,dx\,dy = (e-1)\cdot(e-1) = (e-1)^{2}.
Dica prática para a prova: sempre que vir e^{x+y} num retângulo, pense em separação e^{x}e^{y} e calcule integrais simples; isso poupa trabalho.

Resposta

(e-1)^{2}

Exercícios relacionados