Calcule o volume do sólido limitado pelo plano x z, o plano y z, o plano x y, os planos x=1 e y=1, e a superfície z=x^{2}+y^{4}.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pedido: Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies e planos indicados.
  • Superfícies/planos fornecidos:
    • o plano xz (que corresponde a y=0);
    • o plano yz (que corresponde a x=0);
    • o plano xy (que corresponde a z=0);
    • os planos verticais x=1 e y=1;
    • a superfície z=x^{2}+y^{4}.
  • Informação implícita: estamos na região do primeiro octante (porque x, y e z ficam entre os planos coordenados e as faces x=1, y=1).
  • Portanto, as projeções no plano xy formam o retângulo D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.

Passo 2

Escolha do método e justificativa didática.
  • Para encontrar volume de um sólido com teto dado por uma função z=z(x,y) e base sobre o plano z=0, a fórmula padrão é a integral dupla V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.Aqui z_{\text{top}}(x,y)=x^{2}+y^{4} e z_{\text{bot}}(x,y)=0.
  • Intuição (Cavalieri / soma de Riemann): pense em dividir a base D em pequenos retângulos; em cada pequeno retângulo a altura do sólido é aproximadamente x^{2}+y^{4}; somando alturas vezes área e passando ao limite obtém-se a integral dupla acima.
  • Como D é um retângulo simples, podemos usar a ordem de integração que quisermos e aplicar o Teorema de Fubini para transformar a dupla em iterada: V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+y^{4}\bigr)\,dx\,dyou integrando primeiro em y. Vou integrar primeiro em x por simplicidade didática.

Passo 3

Separação da integral e estratégias de cálculo.
  • A integranda é soma de duas funções separáveis em x e y: x^{2}+y^{4}. Podemos separar a integral em duas: V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\,dy+\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y^{4}\,dx\,dy.
  • Explicando: \int\!\int (f+g)=\int\!\int f+\int\!\int g. Além disso, em \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y^{4}\,dx\,dy a função y^{4} não depende de x, então \int_{0}^{1}y^{4}\,dx = y^{4}\cdot\int_{0}^{1}dx = y^{4}\cdot 1 = y^{4}.

Passo 4

Cálculo da primeira parcela \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\,dy.
  • Calcule a integral interna em x: \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}.
  • Agora a integral externa em y é simplesmente \int_{0}^{1}\frac{1}{3}\,dy=\frac{1}{3}\cdot\bigl[ y\bigr]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.

Passo 5

Cálculo da segunda parcela \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y^{4}\,dx\,dy.
  • Conforme explicado, a integral interna em x dá fator 1: \int_{0}^{1}y^{4}\,dx = y^{4}\cdot\int_{0}^{1}dx = y^{4}.
  • Agora integramos em y: \int_{0}^{1}y^{4}\,dy=\left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{5}}{5}-0=\frac{1}{5}.

Passo 6

Somar as parcelas para obter o valor final (cálculo aritmético).
  • Temos as duas contribuições: \frac{1}{3}\quad\text{e}\quad\frac{1}{5}.
  • Somando: \frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}.

Resposta

\dfrac{8}{15}

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