Calcule o volume do sólido limitado pelo plano
, o plano
, o plano
, os planos
e
, e a superfície
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pedido: Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies e planos indicados.
- Superfícies/planos fornecidos:
- o plano
(que corresponde a ); - o plano
(que corresponde a ); - o plano
(que corresponde a ); - os planos verticais
e ; - a superfície
.
- o plano
- Informação implícita: estamos na região do primeiro octante (porque
, e ficam entre os planos coordenados e as faces , ). - Portanto, as projeções no plano
formam o retângulo
Passo 2
Escolha do método e justificativa didática.
- Para encontrar volume de um sólido com teto dado por uma função
e base sobre o plano , a fórmula padrão é a integral dupla Aqui e . - Intuição (Cavalieri / soma de Riemann): pense em dividir a base
em pequenos retângulos; em cada pequeno retângulo a altura do sólido é aproximadamente ; somando alturas vezes área e passando ao limite obtém-se a integral dupla acima. - Como
é um retângulo simples, podemos usar a ordem de integração que quisermos e aplicar o Teorema de Fubini para transformar a dupla em iterada: ou integrando primeiro em . Vou integrar primeiro em por simplicidade didática.
Passo 3
Separação da integral e estratégias de cálculo.
- A integranda é soma de duas funções separáveis em
e : . Podemos separar a integral em duas: - Explicando:
. Além disso, em a função não depende de , então .
Passo 4
Cálculo da primeira parcela
.
- Calcule a integral interna em
: - Agora a integral externa em
é simplesmente
Passo 5
Cálculo da segunda parcela
.
- Conforme explicado, a integral interna em
dá fator : - Agora integramos em
:
Passo 6
Somar as parcelas para obter o valor final (cálculo aritmético).
- Temos as duas contribuições:
- Somando: