Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} x^{2} e^{x y} d x d y, onde D=[0,1] \times[0,2];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\, dx\, dy,
onde D=[0,1]\times[0,2].
Informações dadas:
  • O domínio é o retângulo [0,1] em x e [0,2] em y.
  • A função a integrar é x^{2} e^{x y}.
    A tarefa é obter o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Escolha do método: como a função x^{2}e^{xy} é contínua em todo o retângulo D, pode-se usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e calcular a integral como uma integral iterada. Vou comparar as duas ordens e optar pela que gera primitivas mais simples: integrar primeiro em y (fixando x) é mais simples porque \int e^{xy}\,dy é imediato.
Breve lembrete (aula curta): o Teorema de Fubini diz que, para uma função contínua em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada como
\iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy=\int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx
ou trocando a ordem. Aqui a=0,b=1,c=0,d=2.

Passo 3

Escrever a integral trocando a ordem para integrar em y primeiro:
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\, dx\, dy = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} x^{2} e^{x y}\, dy\right)dx.
Dentro da integral interna x é constante. Fatorando x^{2}:
\int_{y=0}^{2} x^{2} e^{x y}\, dy = x^{2}\int_{y=0}^{2} e^{x y}\, dy.

Passo 4

Calcular a primitiva em y. Para x\neq 0,
\int e^{x y}\, dy = \frac{1}{x} e^{x y}.
Logo, para x\neq 0,
\int_{y=0}^{2} e^{x y}\, dy = \left.\frac{1}{x}e^{x y}\right|_{0}^{2} = \frac{e^{2x}-1}{x}.
Observação sobre x=0: se x=0 a integral interna é \int_{0}^{2} e^{0}\,dy=\int_{0}^{2}1\,dy=2. A expressão \dfrac{e^{2x}-1}{x} tem limite 2 quando x\to0, então a forma obtida é contínua e válida por continuidade no intervalo. Portanto, multiplicando por x^{2},
x^{2}\int_{0}^{2} e^{x y}\, dy = x^{2}\cdot\frac{e^{2x}-1}{x} = x\bigl(e^{2x}-1\bigr).

Passo 5

Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\, dx\, dy = \int_{0}^{1} x\bigl(e^{2x}-1\bigr)\, dx = \int_{0}^{1} x e^{2x}\, dx \;-\; \int_{0}^{1} x\, dx.
Calcular cada termo separadamente.
Para \displaystyle \int_{0}^{1} x\, dx:
\int_{0}^{1} x\, dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Para \displaystyle \int_{0}^{1} x e^{2x}\, dx usamos integração por partes. Tomando u=x e dv=e^{2x}dx, então du=dx e v=\dfrac{1}{2}e^{2x}. Assim,
\int x e^{2x}\, dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\, dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C = e^{2x}\!\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)+C.
Avaliar de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x e^{2x}\, dx = \left.e^{2x}\!\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)\right|_{0}^{1} = e^{2}\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) - \left(1\cdot\left(0-\frac{1}{4}\right)\right) = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}+1}{4}.

Passo 6

Combinar os resultados:
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\, dx\, dy = \frac{e^{2}+1}{4} - \frac{1}{2}.
Colocando em uma única fração:
\frac{e^{2}+1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{e^{2}+1-2}{4} = \frac{e^{2}-1}{4}.

Resposta

\dfrac{e^{2}-1}{4}

Exercícios relacionados