Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo: \iint_{D} x^{2} e^{x y} d x d y, onde D=[0,1] \times[0,2];
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\, dx\, dy,
onde D=[0,1]\times[0,2].
Informações dadas:
O domínio é o retângulo [0,1] em x e [0,2] em y.
A função a integrar é x^{2} e^{x y}.
A tarefa é obter o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Escolha do método: como a função x^{2}e^{xy} é contínua em todo o retângulo D, pode-se usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e calcular a integral como uma integral iterada. Vou comparar as duas ordens e optar pela que gera primitivas mais simples: integrar primeiro em y (fixando x) é mais simples porque \int e^{xy}\,dy é imediato.
Breve lembrete (aula curta): o Teorema de Fubini diz que, para uma função contínua em um retângulo, a integral dupla pode ser calculada como
Dentro da integral interna x é constante. Fatorando x^{2}:
\int_{y=0}^{2} x^{2} e^{x y}\, dy = x^{2}\int_{y=0}^{2} e^{x y}\, dy.
Passo 4
Calcular a primitiva em y. Para x\neq 0,
\int e^{x y}\, dy = \frac{1}{x} e^{x y}.
Logo, para x\neq 0,
\int_{y=0}^{2} e^{x y}\, dy = \left.\frac{1}{x}e^{x y}\right|_{0}^{2} = \frac{e^{2x}-1}{x}.
Observação sobre x=0: se x=0 a integral interna é \int_{0}^{2} e^{0}\,dy=\int_{0}^{2}1\,dy=2. A expressão \dfrac{e^{2x}-1}{x} tem limite 2 quando x\to0, então a forma obtida é contínua e válida por continuidade no intervalo. Portanto, multiplicando por x^{2},
x^{2}\int_{0}^{2} e^{x y}\, dy = x^{2}\cdot\frac{e^{2x}-1}{x} = x\bigl(e^{2x}-1\bigr).
Passo 5
Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\iint_{D} x^{2} e^{x y}\, dx\, dy = \int_{0}^{1} x\bigl(e^{2x}-1\bigr)\, dx = \int_{0}^{1} x e^{2x}\, dx \;-\; \int_{0}^{1} x\, dx.