Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} x \operatorname{sen}(x+y) d x d y, onde D=[0, \pi] \times[0, \pi / 2];

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
I=\iint_{D} x\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy,
onde D=[0,\pi]\times[0,\tfrac{\pi}{2}].
Ou seja:
  • A região D é um retângulo com x indo de 0 a \pi e y indo de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • A função a integrar é f(x,y)=x\operatorname{sen}(x+y).
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Estratégia: como D é um retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini e trocar a ordem de integração ou integrar primeiro em y ou primeiro em x. O Teorema de Fubini diz, em termos práticos aqui, que
\iint_{D} x\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\operatorname{sen}(x+y)\,dy\right)dx,
porque a função é contínua em D. Vou integrar primeiro em y, porque x aparece como fator multiplicativo e pode ser tratado como constante nessa integração interna — isso simplifica bastante.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\operatorname{sen}(x+y)\,dy.
Aqui x é constante no integral em y, então posso tirar x para fora:
x\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(x+y)\,dy.
Agora usamos a primitiva de \operatorname{sen}(x+y) em relação a y. Uma primitiva é -\cos(x+y), porque \frac{d}{dy}[-\cos(x+y)]=\operatorname{sen}(x+y). Assim:
x\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(x+y)\,dy = x\big[-\cos(x+y)\big]_{y=0}^{y=\frac{\pi}{2}}.

Passo 4

Avaliar a diferença das cossenos:
x\big(-\cos\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)+\cos(x)\big).
Usar a identidade trigonométrica \cos\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)=-\operatorname{sen}x. Portanto
-\cos\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)+\cos(x) = -(-\operatorname{sen}x)+\cos x = \operatorname{sen}x+\cos x.
Logo a integral interna vale
x\big(\operatorname{sen}x+\cos x\big).

Passo 5

Substituindo na integral externa em x, obtemos
I=\int_{0}^{\pi} x\big(\operatorname{sen}x+\cos x\big)\,dx = \int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}x\,dx + \int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx.
Agora vamos calcular as duas integrais unidimensionais separadamente. Para ambas usaremos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Nessa fórmula, u e dv são escolhidos a partir do integrando; então calcula-se du e v.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}x\,dx por partes:
  • Escolher u=x (então du=dx) e dv=\operatorname{sen}x\,dx (então v=-\cos x).
    Aplicando a fórmula:
\int x\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen}x + C.
Avaliar de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}x\,dx = \big[-x\cos x + \operatorname{sen}x\big]_{0}^{\pi}.
Calcular os valores:
\big[-\pi\cos\pi + \operatorname{sen}\pi\big] - \big[0\cdot\cos 0 + \operatorname{sen}0\big] = \big[-\pi(-1) + 0\big] - 0 = \pi.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx por partes:
  • Escolher u=x (então du=dx) e dv=\cos x\,dx (então v=\operatorname{sen}x).
    Aplicando:
\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen}x - \int \operatorname{sen}x\,dx = x\operatorname{sen}x + \cos x + C.
Avaliar de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx = \big[x\operatorname{sen}x + \cos x\big]_{0}^{\pi}.
Calcular os valores:
\big[\pi\operatorname{sen}\pi + \cos\pi\big] - \big[0\cdot\operatorname{sen}0 + \cos0\big] = \big[0 + (-1)\big] - \big[0 + 1\big] = -1 - 1 = -2.

Passo 8

Somar os dois resultados:
I = \int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}x\,dx + \int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx = \pi + (-2) = \pi - 2.
Um pequeno incentivo: deu trabalho, mas foi só aplicar Fubini, uma integral simples em y e duas integrais por partes — técnica que cai bastante em prova. Você consegue!

Resposta

\pi-2

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