Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla
onde
.
Ou seja:
Ou seja:
- A região
é um retângulo com indo de a e indo de a . - A função a integrar é
.
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Estratégia: como
é um retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini e trocar a ordem de integração ou integrar primeiro em
ou primeiro em
. O Teorema de Fubini diz, em termos práticos aqui, que
porque a função é contínua em
. Vou integrar primeiro em
, porque
aparece como fator multiplicativo e pode ser tratado como constante nessa integração interna — isso simplifica bastante.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Aqui
é constante no integral em
, então posso tirar
para fora:
Agora usamos a primitiva de
em relação a
. Uma primitiva é
, porque
. Assim:
Passo 4
Avaliar a diferença das cossenos:
Usar a identidade trigonométrica
. Portanto
Logo a integral interna vale
Passo 5
Substituindo na integral externa em
, obtemos
Agora vamos calcular as duas integrais unidimensionais separadamente. Para ambas usaremos a fórmula de integração por partes:
Nessa fórmula,
e
são escolhidos a partir do integrando; então calcula-se
e
.
Passo 6
Calcular
por partes:
- Escolher
(então ) e (então ).
Aplicando a fórmula:
Avaliar de
a
:
Calcular os valores:
Passo 7
Calcular
por partes:
- Escolher
(então ) e (então ).
Aplicando:
Avaliar de
a
:
Calcular os valores:
Passo 8
Somar os dois resultados:
Um pequeno incentivo: deu trabalho, mas foi só aplicar Fubini, uma integral simples em
e duas integrais por partes — técnica que cai bastante em prova. Você consegue!