Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região de integração é o retângulo
em vezes em . - A função a ser integrada é
.\n
O que se pede: calcular o valor exato da integral dupla sobre.
Passo 2
Podemos aplicar o Teorema de Fubini porque a função é contínua no retângulo
. Vou integrar primeiro em
(fixando
). Escrevendo a integral iterada:
Para integrar em
note que
é constante no integral interno.
Passo 3
Procuramos uma primitiva em
da função
. Observação útil: calcule a derivada em
de
Vamos derivar passo a passo:
Simplificando o numerador:
Portanto
Isso é ótimo, porque nossa integranda é
. Assim, uma primitiva em
é
pois multiplicando a derivada encontrada por
dá a integranda.
Passo 4
Avaliaremos a primitiva entre
e
:
Logo a integral dupla reduz-se a
Passo 5
Fazer a substituição
. Então
ou
.
Os limites: ,
. Assim
Os limites:
Passo 6
Fazer a substituição
. Então
e
.
Quando . Quando
.
Transformando o integrando:
Quando
Transformando o integrando:
Portanto
Passo 7
A primitiva de
é
(verificação rápida: derivando essa expressão obtém-se
). Assim
Substituindo os limites: