Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} \frac{y d x d y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}}, onde D=[0,1] \times[0,1];

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y\,dx\,dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}},
onde D=[0,1]\times[0,1].\n
Informações dadas:
  • A região de integração é o retângulo [0,1] em x vezes [0,1] em y.
  • A função a ser integrada é \dfrac{y}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}.\n
    O que se pede: calcular o valor exato da integral dupla sobre D.

Passo 2

Podemos aplicar o Teorema de Fubini porque a função é contínua no retângulo D. Vou integrar primeiro em x (fixando y). Escrevendo a integral iterada:
\iint_{D}\frac{y\,dx\,dy}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{1}\frac{y}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}\,dx\right)dy.
Para integrar em x note que y é constante no integral interno.

Passo 3

Procuramos uma primitiva em x da função x\mapsto \dfrac{y}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}. Observação útil: calcule a derivada em x de
\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}.
Vamos derivar passo a passo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}\right) =\frac{1\cdot\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot 2x}{1+x^{2}+y^{2}}.
Simplificando o numerador:
\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} =\frac{1+x^{2}+y^{2}-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} =\frac{1+y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}\right) =\frac{1+y^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Isso é ótimo, porque nossa integranda é \dfrac{y}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}. Assim, uma primitiva em x é
\int \frac{y}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}\,dx =\frac{y}{1+y^{2}}\cdot\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}+C(y),
pois multiplicando a derivada encontrada por \dfrac{y}{1+y^{2}} dá a integranda.

Passo 4

Avaliaremos a primitiva entre x=0 e x=1:
\int_{x=0}^{1}\frac{y}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}\,dx =\frac{y}{1+y^{2}}\left.\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}\right|_{0}^{1} =\frac{y}{1+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2+y^{2}}}.
Logo a integral dupla reduz-se a
\iint_{D}\cdots =\int_{0}^{1}\frac{y}{1+y^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2+y^{2}}}\,dy.

Passo 5

Fazer a substituição t=y^{2}. Então dt=2y\,dy ou y\,dy=\dfrac{dt}{2}.
Os limites: y=0\Rightarrow t=0, y=1\Rightarrow t=1. Assim
\int_{0}^{1}\frac{y}{(1+y^{2})\sqrt{2+y^{2}}}\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+t)\sqrt{2+t}}\,dt.

Passo 6

Fazer a substituição u=\sqrt{2+t}. Então t=u^{2}-2 e dt=2u\,du.
Quando t=0\Rightarrow u=\sqrt{2}. Quando t=1\Rightarrow u=\sqrt{3}.
Transformando o integrando:
\frac{1}{(1+t)\sqrt{2+t}}\,dt =\frac{1}{(1+u^{2}-2)\,u}\cdot 2u\,du =\frac{2}{u^{2}-1}\,du.
Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+t)\sqrt{2+t}}\,dt =\frac{1}{2}\int_{u=\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\frac{2}{u^{2}-1}\,du =\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{u^{2}-1}\,du.

Passo 7

A primitiva de \dfrac{1}{u^{2}-1} é \dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{u-1}{u+1}\right) (verificação rápida: derivando essa expressão obtém-se \dfrac{1}{u^{2}-1}). Assim
\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{u^{2}-1}\,du =\frac{1}{2}\left[\ln\!\left(\frac{u-1}{u+1}\right)\right]_{u=\sqrt{2}}^{u=\sqrt{3}}.
Substituindo os limites:
\frac{1}{2}\left(\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right)-\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\left(\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right)-\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)\right)

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