Calcule as integrais duplas a seguir. Desenhe a região de integração.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, bem claro:
- A integral dupla dada é
- As variáveis de integração são
(externa) e (interna). - Os limites:
varia de até ; para cada , varia de até . - O integrando é
. - O enunciado pede: calcular o valor da integral dupla e desenhar a região de integração.
Passo 2
Desenhando e descrevendo a região de integração:
- A curva
é a semi‑circunferência superior do círculo de raio centrado na origem, pois ela vem de com . - A reta
é o eixo . - Os limites
e descrevem exatamente o semicírculo superior de raio .
Um esboço simples (ASCII) do que está sendo integrado:
(essa região é o semicírculo superior de raio
.)
Passo 3
Escolhendo coordenadas polares e explicando por quê:
- Quando o integrando envolve
e a região é circular, coordenadas polares tornam a integral muito mais simples. - Em coordenadas polares usa‑se as transformações
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
- O elemento de área
em coordenadas cartesianas passa a
Explicando o
: pequenas variações
e
geram um elemento de área aproximado por um retângulo com lados
e
; por isso aparece o fator
(essa é a razão geométrica/Jacobiano da mudança de variáveis).
Passo 4
Determinar os limites em coordenadas polares:
- A região é o semicírculo superior de raio
. Em polares isso corresponde a:
- Justificativa:
vai do centro (0) até a borda do círculo (3). Como é o semicírculo superior, vai do eixo positivo até o eixo negativo passando pelo eixo superior, ou seja de a .
Passo 5
Reescrever a integral em coordenadas polares:
- Substituindo
e , a integral fica
Passo 6
Calcular a integral radial (interna) passo a passo usando substituição:
- Considere a integral interna
- Use a substituição
. Então , isto é . - Os limites em
: quando temos ; quando temos . - Pela substituição,
- Agora integramos
:
pois
.
Passo 7
Integrar em
e obter o resultado final:
- Agora a integral completa é
- Como
, obtemos
Passo 8
Comentário final e incentivo:
- Pronto! A integral fechou limpinha em função de
. Você fez a parte difícil que é reconhecer a simetria circular e aplicar coordenadas polares — técnica poderosa para integrais com . - Força nos estudos: essa mudança de variáveis aparece muito em provas; pratique identificar regiões circulares e o fator
no elemento de área.