Calcule as integrais duplas a seguir. Desenhe a região de integração.
\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, bem claro:
  • A integral dupla dada é
\int_{-3}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}\operatorname{sen}\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx.
  • As variáveis de integração são x (externa) e y (interna).
  • Os limites: x varia de -3 até 3; para cada x, y varia de 0 até \sqrt{9-x^{2}}.
  • O integrando é \operatorname{sen}\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
  • O enunciado pede: calcular o valor da integral dupla e desenhar a região de integração.

Passo 2

Desenhando e descrevendo a região de integração:
  • A curva y=\sqrt{9-x^{2}} é a semi‑circunferência superior do círculo de raio 3 centrado na origem, pois ela vem de x^{2}+y^{2}=9 com y\ge 0.
  • A reta y=0 é o eixo x.
  • Os limites x\in[-3,3] e y\in[0,\sqrt{9-x^{2}}] descrevem exatamente o semicírculo superior de raio 3.
Um esboço simples (ASCII) do que está sendo integrado:
\begin{array}{c} \\ \\ \\ y\\\ \\ \\ \\ ↑\\\ \\ \\ \\ | \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \bullet\\ \\ (0,3)\\\ \\ \\ \\ | \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \;/\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\ \\ \\ \\ | \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ / \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\ \\ \\ \\ | \\ \\ \\ / \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\ \\ \\ \\ | \\ \\ / \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\ \\ \\ \\\ -3\\ \\ \\\ 0\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\ 3 \rightarrow x \end{array}
(essa região é o semicírculo superior de raio 3.)

Passo 3

Escolhendo coordenadas polares e explicando por quê:
  • Quando o integrando envolve x^{2}+y^{2} e a região é circular, coordenadas polares tornam a integral muito mais simples.
  • Em coordenadas polares usa‑se as transformações
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área dA em coordenadas cartesianas dx\,dy passa a
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicando o r: pequenas variações dr e d\theta geram um elemento de área aproximado por um retângulo com lados dr e r\,d\theta; por isso aparece o fator r (essa é a razão geométrica/Jacobiano da mudança de variáveis).

Passo 4

Determinar os limites em coordenadas polares:
  • A região é o semicírculo superior de raio 3. Em polares isso corresponde a:
0\le r\le 3,\qquad 0\le \theta\le \pi.
  • Justificativa: r vai do centro (0) até a borda do círculo (3). Como é o semicírculo superior, \theta vai do eixo positivo x até o eixo negativo x passando pelo eixo y superior, ou seja de 0 a \pi.

Passo 5

Reescrever a integral em coordenadas polares:
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta, a integral fica
\int_{-3}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}\operatorname{sen}\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral radial (interna) passo a passo usando substituição:
  • Considere a integral interna
\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr.
  • Use a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, isto é r\,dr=\dfrac{du}{2}.
  • Os limites em u: quando r=0 temos u=0; quando r=3 temos u=9.
  • Pela substituição,
\int_{0}^{3}\operatorname{sen}\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{9}\operatorname{sen}\!(u)\,du.
  • Agora integramos \sin:
\frac{1}{2}\int_{0}^{9}\operatorname{sen}\!(u)\,du =\frac{1}{2}\big[-\cos u\big]_{0}^{9} =\frac{1}{2}\big(-\cos 9 -(-\cos 0)\big) =\frac{1}{2}\big(1-\cos 9\big),
pois \cos 0=1.

Passo 7

Integrar em \theta e obter o resultado final:
  • Agora a integral completa é
\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}\big(1-\cos 9\big)\right)d\theta =\frac{1}{2}\big(1-\cos 9\big)\int_{0}^{\pi}d\theta.
  • Como \int_{0}^{\pi}d\theta=\pi, obtemos
\frac{1}{2}\big(1-\cos 9\big)\cdot \pi =\frac{\pi}{2}\big(1-\cos 9\big).

Passo 8

Comentário final e incentivo:
  • Pronto! A integral fechou limpinha em função de \cos 9. Você fez a parte difícil que é reconhecer a simetria circular e aplicar coordenadas polares — técnica poderosa para integrais com x^{2}+y^{2}.
  • Força nos estudos: essa mudança de variáveis aparece muito em provas; pratique identificar regiões circulares e o fator r no elemento de área.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr)

Exercícios relacionados