Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo cone z^{2}=4 x^{2}+4 y^{2} e inferiormente pelo plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo cone z^{2}=4x^{2}+4y^{2} e inferiormente pelo plano z=4.
Informações dadas:
  • Superfície do cone: z^{2}=4x^{2}+4y^{2}.
  • Superfície do plano: z=4.
  • A pergunta é: qual é o volume do sólido limitado por essas superfícies?

Passo 2

Entender a geometria e a posição relativa das superfícies (passo importante antes de integrar).
A equação do cone pode ser escrita como
z=\pm 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A parte superior do cone é z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}} (chamaremos de z=2r depois) e a parte inferior é z=-2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para que exista um sólido limitado entre as duas superfícies é necessário que elas se cortem formando uma curva fechada. Igualando z=4 à parte superior do cone:
4=2\sqrt{x^{2}+y^{2}} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2.
Logo as superfícies se intersectam numa circunferência de raio 2. Isso indica que o sólido finito que queremos é a região entre o cone (por baixo) e o plano z=4 (por cima) para 0\le r\le 2. Observação: se interpretássemos o cone como limite superior no sentido de z=2r acima do plano z=4 para r\ge2, obteríamos uma região não limitada (volume infinito). Portanto, para obter o sólido limitado e finito usamos a interpretação natural: o cone fornece a face inferior z=2r e o plano é a face superior z=4, no disco de raio 2.

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas e justificativa (aula rápida).
Como as superfícies são radiais (dependem de x^{2}+y^{2}), convém usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Na mudança de variáveis para cilindricas o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do r: numa pequena variação dr e d\theta o elemento de área na base vale aproximadamente r\,dr\,d\theta (comprimento do arco r\,d\theta vezes largura dr), por isso aparece o fator r.

Passo 4

Determinar os limites de integração.
  • Para z: o sólido fica entre o cone (inferior) e o plano (superior), isto é
z\\ \text{vai de}\\ z_{\text{cone}}=2r \quad\text{até}\quad z_{\text{plano}}=4.é
  • Para r: a interseção entre plano e cone deu \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2, logo r vai de 0 até 2.
  • Para \theta: região é completa em torno do eixo, então \theta vai de 0 a 2\pi.

Passo 5

Montar a integral tripla do volume em coordenadas cilíndricas.
O volume é a integral da função 1 sobre a região, com dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Assim:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=2r}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
Integramos primeiro em z:
\int_{z=2r}^{4} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{z=2r}^{4} = r(4-2r)=4r-2r^{2}.
Agora integramos em r de 0 a 2:
\int_{r=0}^{2} (4r-2r^{2})\,dr = \left[2r^{2}-\tfrac{2}{3}r^{3}\right]_{0}^{2}.
Avaliando em r=2:
2\cdot 2^{2}-\tfrac{2}{3}\cdot 2^{3}=2\cdot 4 - \tfrac{2}{3}\cdot 8 = 8 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{24-16}{3} = \tfrac{8}{3}.
Por fim integramos em \theta de 0 a 2\pi, multiplicando por 2\pi:
V = \int_{0}^{2\pi} \tfrac{8}{3}\,d\theta = \tfrac{8}{3}\cdot 2\pi = \tfrac{16\pi}{3}.

Passo 7

Resumo final do procedimento (rápido reforço):
  • Usei coordenadas cilíndricas por simetria radial.
  • O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Limites: 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi, 2r\le z\le 4.
  • Resultado final do cálculo: V=\dfrac{16\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{16\pi}{3}

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