Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo cone
e inferiormente pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado superiormente pelo cone
e inferiormente pelo plano
.
Informações dadas:
- Superfície do cone:
. - Superfície do plano:
. - A pergunta é: qual é o volume do sólido limitado por essas superfícies?
Passo 2
Entender a geometria e a posição relativa das superfícies (passo importante antes de integrar).
A equação do cone pode ser escrita como
A parte superior do cone é
(chamaremos de
depois) e a parte inferior é
.
Para que exista um sólido limitado entre as duas superfícies é necessário que elas se cortem formando uma curva fechada. Igualando
à parte superior do cone:
Logo as superfícies se intersectam numa circunferência de raio
. Isso indica que o sólido finito que queremos é a região entre o cone (por baixo) e o plano
(por cima) para
. Observação: se interpretássemos o cone como limite superior no sentido de
acima do plano
para
, obteríamos uma região não limitada (volume infinito). Portanto, para obter o sólido limitado e finito usamos a interpretação natural: o cone fornece a face inferior
e o plano é a face superior
, no disco de raio
.
Passo 3
Escolha de sistema de coordenadas e justificativa (aula rápida).
Como as superfícies são radiais (dependem de
), convém usar coordenadas cilíndricas
com as relações
Na mudança de variáveis para cilindricas o elemento de volume é
Explicação do
: numa pequena variação
e
o elemento de área na base vale aproximadamente
(comprimento do arco
vezes largura
), por isso aparece o fator
.
Passo 4
Determinar os limites de integração.
- Para
: o sólido fica entre o cone (inferior) e o plano (superior), isto é
- Para
: a interseção entre plano e cone deu , logo vai de até . - Para
: região é completa em torno do eixo, então vai de a .
Passo 5
Montar a integral tripla do volume em coordenadas cilíndricas.
O volume é a integral da função
sobre a região, com
. Assim:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo.
Integramos primeiro em
:
Agora integramos em
de
a
:
Avaliando em
:
Por fim integramos em
de
a
, multiplicando por
:
Passo 7
Resumo final do procedimento (rápido reforço):
- Usei coordenadas cilíndricas por simetria radial.
- O elemento de volume é
. - Limites:
, , . - Resultado final do cálculo:
.