Escreva a integral de volume do tetraedro formado pelos pontos (0,0,0),(2,0,0),(0,4,0) e (0, 0, 4).
Em seguida, calcule esse volume.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a integral de volume que representa o tetraedro com vértices (0,0,0), (2,0,0), (0,4,0) e (0,0,4); (2) calcular o volume desse tetraedro.
Informações dadas (os vértices): (0,0,0), (2,0,0), (0,4,0), (0,0,4).

Passo 2

Primeiro precisamos achar a equação do plano que passa por (2,0,0), (0,4,0) e (0,0,4). Note que esses pontos são interceptos nos eixos x,y,z em x=2, y=4, z=4. Para um plano que intercepta os eixos em (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) vale a forma de interceptos
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Aqui a=2, b=4, c=4. Substituindo obtemos a equação do plano do teto do tetraedro:
\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1.
Isolando z para usar como limite superior em integrais:
\frac{z}{4}=1-\frac{x}{2}-\frac{y}{4}\quad\Rightarrow\quad z=4-2x-y.

Passo 3

Descrever a região T em coordenadas cartesianas (primeiro octante, abaixo do plano). Como z\ge 0 e z\le 4-2x-y, temos 4-2x-y\ge 0 o que implica y\le 4-2x. Também x\ge 0 e, colocando y=0, obtém-se x\le 2. Portanto os limites naturais (ordem dz\,dy\,dx) são:
0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le 4-2x,\qquad 0\le z\le 4-2x-y.
A integral de volume \,V=\iiint_{T} dV\, fica então
V=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{4-2x}\int_{z=0}^{4-2x-y} dz\,dy\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral passo a passo. Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{4-2x-y} dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{4-2x-y}=4-2x-y.
A integral passa a ser
V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-2x}\bigl(4-2x-y\bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Integramos em y:
\int_{0}^{4-2x}\bigl(4-2x-y\bigr)\,dy =\bigl[(4-2x)y-\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{4-2x} =(4-2x)(4-2x)-\tfrac{(4-2x)^{2}}{2} =\tfrac{(4-2x)^{2}}{2}.
Assim
V=\int_{0}^{2}\tfrac{(4-2x)^{2}}{2}\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2}(4-2x)^{2}\,dx.
Expandindo (4-2x)^{2}=16-16x+4x^{2} e integrando:
\int_{0}^{2}(16-16x+4x^{2})\,dx=\bigl[16x-8x^{2}+\tfrac{4}{3}x^{3}\bigr]_{0}^{2} =32-32+\tfrac{32}{3}=\tfrac{32}{3}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} resulta
V=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{32}{3}=\tfrac{16}{3}.

Passo 6

Como verificação rápida: existe uma fórmula direta para o volume de um tetraedro com vértice na origem e outros três vértices dados pelos vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}:
V=\frac{1}{6}\bigl|\det[\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\\ \mathbf{c}]\bigr|.
Aqui \mathbf{a}=(2,0,0), \mathbf{b}=(0,4,0), \mathbf{c}=(0,0,4). O determinante é 2\cdot4\cdot4=32, logo
V=\frac{1}{6}\cdot 32=\frac{16}{3},
coincidindo com o resultado obtido pela integral.

Resposta

V=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{4-2x}\int_{z=0}^{4-2x-y} dz\,dy\,dx
V=\frac{16}{3}

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