Escreva a integral de volume do tetraedro formado pelos pontos (0,0,0),(2,0,0),(0,4,0) e (0, 0, 4).
Em seguida, calcule esse volume.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a integral de volume que representa o tetraedro com vértices (0,0,0), (2,0,0), (0,4,0) e (0,0,4); (2) calcular o volume desse tetraedro.
Informações dadas (os vértices): (0,0,0), (2,0,0), (0,4,0), (0,0,4).
Passo 2
Primeiro precisamos achar a equação do plano que passa por (2,0,0), (0,4,0) e (0,0,4). Note que esses pontos são interceptos nos eixos x,y,z em x=2, y=4, z=4. Para um plano que intercepta os eixos em (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) vale a forma de interceptos
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Aqui a=2, b=4, c=4. Substituindo obtemos a equação do plano do teto do tetraedro:
\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1.
Isolando z para usar como limite superior em integrais:
Descrever a região T em coordenadas cartesianas (primeiro octante, abaixo do plano). Como z\ge 0 e z\le 4-2x-y, temos 4-2x-y\ge 0 o que implica y\le 4-2x. Também x\ge 0 e, colocando y=0, obtém-se x\le 2. Portanto os limites naturais (ordem dz\,dy\,dx) são:
Como verificação rápida: existe uma fórmula direta para o volume de um tetraedro com vértice na origem e outros três vértices dados pelos vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}: