Calcule a integral tripla de f(x, y, z)=\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} sobre a região delimitada pelos cones z=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}, z=\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}} e x^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=\dfrac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} sobre a região delimitada por três superfícies: as duas cones z=\sqrt{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{3}} e z=\sqrt{3x^{2}+3y^{2}} e o cilindro vertical x^{2}+y^{2}=1.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=\dfrac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • A região é a parte do espaço com eixo z positivo (os cones estão escritos com raiz positiva) limitada entre os dois cones e contida no cilindro x^{2}+y^{2}=1.
  • Precisamos calcular
\iiint_{V}\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV,
onde V é a região descrita acima.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e explicação didática do mesmo.
Uma boa escolha é usar coordenadas esféricas, porque:
  • A expressão x^{2}+y^{2}+z^{2} fica simplesmente \rho^{2} em esféricas, o que simplifica muito a função.
  • Cones que passam pela origem correspondem a ângulos polares constantes em esféricas (facilita achar os limites angulares).
Lembrando as definições das coordenadas esféricas (convencionais, em que \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z, e \theta é o ângulo azimutal no plano xy):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde
  • \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem,
  • \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (com \varphi=0 apontando para o eixo +z),
  • \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Aqui \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano da transformação (provém da multiplicação dos fatores das pequenas variações em \rho,\varphi,\theta).

Passo 3

Descrição das superfícies dadas em coordenadas esféricas e obtenção dos limites angulares.
Primeiro escrever os cones em termos de \rho,\varphi. Para pontos com \rho>0,
\text{altura radial no plano }xy:\\ s=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi, \qquad z=\rho\cos\varphi.
Cone 1: z=\sqrt{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{3}}.
Ele implica
\rho\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{(\rho\sin\varphi)^{2}}{3}}=\rho\frac{\sin\varphi}{\sqrt{3}}.
Para \rho>0 podemos dividir por \rho e obter
\cos\varphi=\frac{\sin\varphi}{\sqrt{3}}\quad\Longrightarrow\quad \cot\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Isso dá
\tan\varphi=\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{3}.
Cone 2: z=\sqrt{3x^{2}+3y^{2}}.
Analogamente,
\rho\cos\varphi=\sqrt{3}(\rho\sin\varphi)\quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\sqrt{3}\sin\varphi,
ou
\cot\varphi=\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{6}.
Portanto os cones correspondem a \varphi=\dfrac{\pi}{6} e \varphi=\dfrac{\pi}{3}. A região entre os cones com z positivo tem \varphi variando de \dfrac{\pi}{6} até \dfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Tratamento do cilindro x^{2}+y^{2}=1 e obtenção do limite para \rho.
O cilindro vertical é dado por s=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1. Em esféricas, s=\rho\sin\varphi. A condição de estar dentro do cilindro (isto é, \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le 1) traduz-se em
\rho\sin\varphi\le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0\le \rho\le \frac{1}{\sin\varphi}.
Observe que esse limite para \rho depende de \varphi: para cada direção polar \varphi fixa, a reta radial sai da origem até intersectar a parede do cilindro quando \rho=1/\sin\varphi.
O ângulo azimutal \theta percorre toda a volta no plano xy, logo \theta\in[0,2\pi].
Resumindo os limites:
0\le\theta\le 2\pi,\qquad \frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{3},\qquad 0\le\rho\le\frac{1}{\sin\varphi}.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas esféricas e simplificar o integrando com o jacobiano.
A função f em esféricas é
f=\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{2}{\rho^{2}}.
Multiplicando pelo elemento de volume dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta obtemos o integrando total
\frac{2}{\rho^{2}}\cdot \rho^{2}\sin\varphi = 2\sin\varphi.
Repare que os \rho^{2} se cancelam: é por isso que a escolha esférica foi tão conveniente.
Assim a integral sobre V fica
\iiint_{V}\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/6}^{\pi/3}\int_{0}^{1/\sin\varphi} 2\sin\varphi \; d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo, começando pela integral em \rho.
A integral em \rho é simples porque o integrando não depende de \rho:
\int_{0}^{1/\sin\varphi} 2\sin\varphi \; d\rho =2\sin\varphi\left[\rho\right]_{0}^{1/\sin\varphi} =2\sin\varphi\cdot\frac{1}{\sin\varphi}=2.
Portanto após integrar em \rho sobra
\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/3} 2 \; d\varphi\,d\theta.
Agora integrar em \varphi:
\int_{\pi/6}^{\pi/3} 2 \; d\varphi = 2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}.
Finalmente integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{\pi}{3}\; d\theta = \frac{\pi}{3}\cdot 2\pi = \frac{2\pi^{2}}{3}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida de consistência.
O valor obtido é \dfrac{2\pi^{2}}{3}. Faz sentido que o resultado seja finito porque, embora o integrando diverja na origem ( 1/\rho^{2}), o fator de volume \rho^{2} do jacobiano cancela essa singularidade, deixando uma função integrável (aqui constante em \rho), então a integral sobre a região finita dá um valor finito. Tudo está coerente.

Resposta

\dfrac{2\pi^{2}}{3}

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