Calcule a integral tripla de
sobre a região delimitada pelos cones
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre a região delimitada por três superfícies: as duas cones
e
e o cilindro vertical
.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A função a integrar é
. - A região é a parte do espaço com eixo
positivo (os cones estão escritos com raiz positiva) limitada entre os dois cones e contida no cilindro . - Precisamos calcular
onde
é a região descrita acima.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e explicação didática do mesmo.
Uma boa escolha é usar coordenadas esféricas, porque:
- A expressão
fica simplesmente em esféricas, o que simplifica muito a função. - Cones que passam pela origem correspondem a ângulos polares constantes em esféricas (facilita achar os limites angulares).
Lembrando as definições das coordenadas esféricas (convencionais, em que
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo
, e
é o ângulo azimutal no plano
):
onde
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo polar (com apontando para o eixo ), -
é o ângulo azimutal no plano .
O elemento de volume em esféricas é
Aqui
é o jacobiano da transformação (provém da multiplicação dos fatores das pequenas variações em
).
Passo 3
Descrição das superfícies dadas em coordenadas esféricas e obtenção dos limites angulares.
Primeiro escrever os cones em termos de
. Para pontos com
,
Cone 1:
.
Ele implica
Ele implica
Para
podemos dividir por
e obter
Isso dá
Cone 2:
.
Analogamente,
Analogamente,
ou
Portanto os cones correspondem a
e
. A região entre os cones com
positivo tem
variando de
até
.
Passo 4
Tratamento do cilindro
e obtenção do limite para
.
O cilindro vertical é dado por
. Em esféricas,
. A condição de estar dentro do cilindro (isto é,
) traduz-se em
Observe que esse limite para
depende de
: para cada direção polar
fixa, a reta radial sai da origem até intersectar a parede do cilindro quando
.
O ângulo azimutal
percorre toda a volta no plano
, logo
.
Resumindo os limites:
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas esféricas e simplificar o integrando com o jacobiano.
A função
em esféricas é
Multiplicando pelo elemento de volume
obtemos o integrando total
Repare que os
se cancelam: é por isso que a escolha esférica foi tão conveniente.
Assim a integral sobre
fica
Passo 6
Calcular a integral passo a passo, começando pela integral em
.
A integral em
é simples porque o integrando não depende de
:
Portanto após integrar em
sobra
Agora integrar em
:
Finalmente integrar em
:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida de consistência.
O valor obtido é
. Faz sentido que o resultado seja finito porque, embora o integrando diverja na origem (
), o fator de volume
do jacobiano cancela essa singularidade, deixando uma função integrável (aqui constante em
), então a integral sobre a região finita dá um valor finito. Tudo está coerente.