Calcule as integrais duplas a seguir:
(a)
\iint_{R} 2 x e^{x^{2}} d Aonde: R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} 2x e^{x^{2}}\,dA
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2\}.
Informações dadas e pedido:
  • Integrando: 2x e^{x^{2}}.
  • Região: x varia de 0 a 1 e y varia de 0 a 2.
  • Pergunta: calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Ideia básica e propriedade usada (sem resolver ainda).
Para funções contínuas em retângulos, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (Teorema de Fubini). Assim podemos escrever
\iint_{R} 2x e^{x^{2}}\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2} 2x e^{x^{2}}\,dy\right)dx.
Observação útil: a função 2x e^{x^{2}} não depende de y. Quando uma função não depende de uma das variáveis, a integração nessa variável apenas multiplica pelo comprimento do intervalo dessa variável. Vou usar isso explicitamente no próximo passo.

Passo 3

Calcular a integral interna em y (tratando x como constante).
\int_{y=0}^{2} 2x e^{x^{2}}\,dy = 2x e^{x^{2}}\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{2} = 2x e^{x^{2}}\cdot(2-0)=4x e^{x^{2}}.
Explicando devagar: como 2x e^{x^{2}} é constante em relação a y, a integral em y é esse constante vezes a largura do intervalo em y, que é 2.

Passo 4

Agora sobra a integral em x:
\iint_{R} 2x e^{x^{2}}\,dA = \int_{0}^{1} 4x e^{x^{2}}\,dx.
Para calcular essa integral use uma substituição simples: seja \;u=x^{2}\;. Então
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad 4x\,dx = 2\,du.
Os limites: quando x=0 temos u=0; quando x=1 temos u=1.

Passo 5

Aplicando a substituição na integral:
\int_{0}^{1} 4x e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{1} 2 e^{u}\,du.
Essa é uma integral direta de exponencial. Integramos:
\int_{0}^{1} 2 e^{u}\,du = 2\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = 2\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr)=2(e-1).

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o valor é um número positivo e obtido por duas etapas naturais (multiplicar pela largura em y e integrar em x por substituição). O resultado faz sentido e é simples de calcular sem calculadora simbólica.

Resposta

2(e-1)

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