Calcule as integrais duplas a seguir:
(a)
onde:
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações dadas e pedido:
- Integrando:
. - Região:
varia de a e varia de a . - Pergunta: calcular o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Ideia básica e propriedade usada (sem resolver ainda).
Para funções contínuas em retângulos, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (Teorema de Fubini). Assim podemos escrever
Para funções contínuas em retângulos, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (Teorema de Fubini). Assim podemos escrever
Observação útil: a função
não depende de
. Quando uma função não depende de uma das variáveis, a integração nessa variável apenas multiplica pelo comprimento do intervalo dessa variável. Vou usar isso explicitamente no próximo passo.
Passo 3
Calcular a integral interna em
(tratando
como constante).
Explicando devagar: como
é constante em relação a
, a integral em
é esse constante vezes a largura do intervalo em
, que é
.
Passo 4
Agora sobra a integral em
:
Para calcular essa integral use uma substituição simples: seja
. Então
Os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 5
Aplicando a substituição na integral:
Essa é uma integral direta de exponencial. Integramos:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o valor é um número positivo e obtido por duas etapas naturais (multiplicar pela largura em
e integrar em
por substituição). O resultado faz sentido e é simples de calcular sem calculadora simbólica.