Fatore as expressões abaixo, colocando o fator comum em evidência:
4 x^{2} y^{2}+12 x y^{3}+20 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão, colocando o fator comum em evidência. A expressão dada é:
4 x^{2} y^{2}+12 x y^{3}+20 x y^{2}.
O que se quer é escrever essa soma como um produto do fator comum por um polinômio (ou seja, tirar da soma tudo o que aparece em todos os termos).

Passo 2

Vamos identificar o fator numérico comum (o maior número que divide os coeficientes). Os coeficientes são 4, 12 e 20. Faço a fatoração prima para ver o máximo divisor comum:
4 = 2^{2},\qquad 12 = 2^{2}\cdot 3,\qquad 20 = 2^{2}\cdot 5.
O maior fator comum é 2^{2}=4. Logo o fator numérico comum é 4.

Passo 3

Agora identifico as potências em comum das variáveis. Olhando para cada termo:
  • primeiro termo: 4 x^{2} y^{2} tem x^{2} e y^{2};
  • segundo termo: 12 x y^{3} tem x^{1} e y^{3};
  • terceiro termo: 20 x y^{2} tem x^{1} e y^{2}.
Para cada variável, o fator comum será a menor potência que aparece nos termos (porque só essa é garantida em todos). Assim:
  • para x: aparecem potências 2,1,1 → menor potência é 1, então fator comum tem x;
  • para y: aparecem potências 2,3,2 → menor potência é 2, então fator comum tem y^{2}.
Portanto o fator literal comum é x y^{2}.

Passo 4

Multiplicando o fator numérico e o literal comuns, o fator comum total é 4 x y^{2}.
Agora vou dividir cada termo pelo fator 4 x y^{2} para encontrar os termos que ficarão dentro dos parênteses:
\frac{4 x^{2} y^{2}}{4 x y^{2}} = x, \qquad \frac{12 x y^{3}}{4 x y^{2}} = \frac{12}{4}\cdot \frac{x}{x}\cdot \frac{y^{3}}{y^{2}} = 3y,
\frac{20 x y^{2}}{4 x y^{2}} = \frac{20}{4}\cdot \frac{x}{x}\cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} = 5.

Passo 5

Reunindo: cada termo original é o produto 4 x y^{2} vezes o quociente correspondente. Assim a soma é igual a 4 x y^{2} vezes a soma dos quocientes:
4 x^{2} y^{2}+12 x y^{3}+20 x y^{2} = 4 x y^{2}\bigl(x + 3y + 5\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (distribuição): multiplicando 4 x y^{2} por x, 3y e 5 obtém-se respectivamente 4 x^{2} y^{2}, 12 x y^{3} e 20 x y^{2}, que são os termos originais. Está correto!

Resposta

4 x y^{2}\bigl(x + 3y + 5\bigr)

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