Calcule as integrais elementares abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo integral. A questão pede para calcular a integral de
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é bem comum quando a integral tem uma função composta. Então, bora lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão
, podemos notar que o que está dentro da raiz é
. Vamos chamar isso de
para facilitar.
Então, fazemos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando ambos os lados:
Isso quer dizer que
é igual a
, o que simplifica nossa substituição.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Agora, a integral está mais simples e fácil de resolver.
Passo 5
Sabemos que
pode ser reescrito como
. Então, a integral fica:
A gente vai usar a regra básica de integração para potências de
.
Passo 6
Integrando
em relação a
, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é: