Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral 1raiz3+x d x

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo integral. A questão pede para calcular a integral de 1raiz3+x em relação a x. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é bem comum quando a integral tem uma função composta. Então, bora lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a expressão 1raiz3+x, podemos notar que o que está dentro da raiz é 3 + x. Vamos chamar isso de u para facilitar.
Então, fazemos:
u = 3 + x

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando ambos os lados:
dudx = 1 implies du = dx
Isso quer dizer que dx é igual a du, o que simplifica nossa substituição.

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
I = integral 1raizu , du
Agora, a integral está mais simples e fácil de resolver.

Passo 5

Sabemos que 1raizu pode ser reescrito como u^-1/2. Então, a integral fica:
I = integral u^-1/2 , du
A gente vai usar a regra básica de integração para potências de u.

Passo 6

Integrando u^-1/2 em relação a u, temos:
integral u^-1/2 , du = u^1/212 + C = 2u^1/2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original x. Lembrando que u = 3 + x, substituímos de volta:
I = 2raizu + C = 2raiz3 + x + C

Resposta

Portanto, a integral de 1raiz3+x em relação a x é:
I = 2raiz3 + x + C

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