Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral 1x^2-4 x+8 d x.

Passo 1

A gente quer integrar integral 1x^2 - 4x + 8 , dx. Isso é uma integral de função racional que se resolve completando o quadrado no denominador e usando a forma de integral 1u^2 + a^2 , du.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
x^2 - 4x + 8 = (x - 2)^2 + 4

Passo 3

Assim a integral fica integral 1(x-2)^2 + 2^2 , dx. Fazendo a troca de variável u = x - 2, temos du = dx. A integral vira
integral 1u^2 + 2^2 , du,

Passo 4

que é o tipo padrão integral 1u^2 + a^2 , du. Aplicamos a fórmula
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctanl(uar) + C

Passo 5

Aqui a = 2, então obtemos
12 arctanl(u2r) + C Voltamos à variável x substituindo u = x - 2, o que nos fornece a expressão final da integral.

Resposta

12arctanl(x-22r) + C

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