Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 pés/s (cerca de
. A pedra atinge uma altura de
pés após
segundos.
Quais são a velocidade e o módulo da velocidade da pedra quando ela está a 256 pés do solo na subida? E na descida?
Quais são a velocidade e o módulo da velocidade da pedra quando ela está a 256 pés do solo na subida? E na descida?
Passo 1
Temos o movimento vertical da pedra com posição em função do tempo dada por
. Precisamos encontrar a velocidade e o módulo dessa velocidade quando a altura for 256 pés, tanto na subida quanto na descida. Para isso vamos derivar
para achar
e resolver a condição
para descobrir os instantes de tempo relevantes.
Passo 2
Como velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, calculamos
.
Essa expressão nos dá a velocidade instantânea em qualquer instante
.
Passo 3
Agora achamos os instantes em que
. Começamos resolvendo a equação quadrática:
Dividindo ambos os lados por
vem
As raízes são dadas por
Logo
s (subida) e
s (descida).
Passo 4
Finalmente, avaliamos
nesses instantes e obtemos o módulo:
- Para
s: ft/s, módulo ft/s. - Para
s: ft/s, módulo ft/s.
Dessa forma temos a velocidade e a velocidade escalar nos dois momentos.
Resposta
Na subida: velocidade = 96 ft/s e módulo = 96 ft/s; na descida: velocidade = -96 ft/s e módulo = 96 ft/s.