Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 pés/s (cerca de 109 mph). A pedra atinge uma altura de s=160 t-16 t^2 pés após t segundos.
Quais são a velocidade e o módulo da velocidade da pedra quando ela está a 256 pés do solo na subida? E na descida?

Passo 1

Temos o movimento vertical da pedra com posição em função do tempo dada por s(t) = 160t - 16t^2. Precisamos encontrar a velocidade e o módulo dessa velocidade quando a altura for 256 pés, tanto na subida quanto na descida. Para isso vamos derivar s(t) para achar v(t) e resolver a condição s(t)=256 para descobrir os instantes de tempo relevantes.

Passo 2

Como velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, calculamos v(t)=s'(t).
v(t)=160 - 32t
Essa expressão nos dá a velocidade instantânea em qualquer instante t.

Passo 3

Agora achamos os instantes em que s(t)=256. Começamos resolvendo a equação quadrática:
-16t^2 + 160t - 256 = 0
Dividindo ambos os lados por -16 vem
t^2 - 10t + 16 = 0
As raízes são dadas por
t = 10 pm raiz100 - 642 = 10 pm 62
Logo t=2 s (subida) e t=8 s (descida).

Passo 4

Finalmente, avaliamos v(t) nesses instantes e obtemos o módulo:
  • Para t=2 s: v(2) = 160 - 32cdot2 = 96 ft/s, módulo |96| = 96 ft/s.
  • Para t=8 s: v(8) = 160 - 32cdot8 = -96 ft/s, módulo |-96| = 96 ft/s.
    Dessa forma temos a velocidade e a velocidade escalar nos dois momentos.

Resposta

Na subida: velocidade = 96 ft/s e módulo = 96 ft/s; na descida: velocidade = -96 ft/s e módulo = 96 ft/s.

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