Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral x^4-x^3+3 x^2x^2+3 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular I = integral x^4 - x^3 + 3x^2x^2 + 3 , dx. O conteúdo aqui é integração de função racional. Para resolver vamos usar divisão de polinômios para simplificar a fração e depois uma substituição simples na parte restante.

Passo 2

Como o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (2), fazemos divisão de polinômios:
Reescrevendo
x^4 - x^3 + 3x^2x^2 + 3 = x^2 - x + 3xx^2 + 3

Passo 3

Portanto
I = integral l(x^2 - xr) , dx + integral 3xx^2 + 3 , dx

Passo 4

Agora integramos parte a parte: para a primeira integral, usando a regra integral x^n , dx = x^n+1/(n+1),
integral l(x^2 - xr) , dx = x^33 - x^22

Passo 5

Na segunda integral fazemos u = x^2 + 3, então du = 2x , dx, logo 3x , dx = tfrac32 , du. Isso dá
integral 3xx^2 + 3 , dx = 32 integral duu = 32 lnlvert urvert = 32 lnl(x^2 + 3r)

Resposta

I = x^33 - x^22 + 32 lnl(x^2 + 3r) + C

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