Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral d x1+raizx+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral elementar I=integral dx1+raizx+1. O conteúdo envolvido é integração por substituição (ou racionalização do denominador) e precisaremos usar a substituição t=raizx+1 e manipular a expressão para obter uma forma integrável.

Passo 2

Fazendo a substituição t=raizx+1 implica x=t^2-1 e então dx=2t,dt. Substituindo na integral original, obtemos
I=integral2t,dt1+t

Passo 3

Para simplificar o integrando, fazemos a divisão algébrica:
2t1+t=2-21+t
Assim a integral vira
I=integrall(2-21+tr)dt

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral2,dt=2t,
integral21+t,dt=2ln|1+t|
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I=2t-2ln|1+t|+C
Substituindo t=raizx+1, resulta
I=2raizx+1-2ln|1+raizx+1|+C

Passo 5

final_answer

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