Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral 4 x^2-5 x+1x^2-1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral elementar I=integral 4x^2-5x+1x^2-1,dx. O conteúdo envolvido é integração de função racional, e vamos precisar usar divisão de polinômios seguida de frações parciais.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão de polinômios de 4x^2-5x+1 por x^2-1. O quociente é 4 e o resto é obtido por:
(4x^2-5x+1)-4(x^2-1)=4x^2-5x+1-4x^2+4=-5x+5
Assim podemos reescrever
I=integral 4x^2-5x+1x^2-1,dx=integral l(4+-5x+5x^2-1r)dx

Passo 3

Agora decompondo -5x+5x^2-1=Ax-1+Bx+1. Escrevendo
-5x+5=A(x+1)+B(x-1)= (A+B)x+(A-B),
comparamos coeficientes: A+B=-5 e A-B=5. Dessas equações vem A=0 e B=-5. Logo
-5x+5x^2-1=-5x+1

Passo 4

Substituindo na integral e integrando termo a termo:
I=integral 4,dx+integral -5x+1,dx=4x-5ln|x+1|+C

Resposta

4x - 5 \ln|x+1| + C

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