Calcule as integrais elementares abaixo:
I=integral(raiza-raizx)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular a integral de (raiza - raizx)^2 em relação a x. Aqui, estamos lidando com integração de funções envolvendo raízes. Para resolver isso, vamos precisar expandir o quadrado e depois integrar termo por termo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado (raiza - raizx)^2. Lembra que (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2? Então:
(raiza - raizx)^2 = (raiza)^2 - 2 cdot raiza cdot raizx + (raizx)^2
Simplificando cada termo:
= a - 2raizaraizx + x

Passo 3

Agora que a expressão está expandida, nossa integral fica assim:
I = integral (a - 2raizaraizx + x) dx
Vamos separar a integral em três partes para facilitar:
I = integral a, dx - 2raiza integral raizx, dx + integral x, dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
integral a, dx = a integral dx = a x + C1
Aqui, a é constante, então a integral de a em relação a x é simplesmente a x.
  1. Segunda integral:
-2raiza integral raizx, dx
Sabemos que raizx = x^1/2, e a integral de x^n é x^n+1n+1 + C. Então:
integral raizx, dx = integral x^1/2, dx = x^3/23/2 = 23x^3/2
Multiplicando pelo -2raiza:
-2raiza cdot 23x^3/2 = -43raiza cdot x^3/2
  1. Terceira integral:
integral x, dx = x^22 + C3

Passo 5

Agora, juntamos todas as partes:
I = a x - 43raiza cdot x^3/2 + x^22 + C
Onde C é a constante de integração que engloba todas as constantes individuais.

Resposta

A integral avaliada é:
I = a x - 43raiza, x^3/2 + x^22 + C

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