Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado. Use um recurso computacional para esboçar no mesmo sistema de eixos o gráfico da função e a reta tangente correspondente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função $ g(t) = \frac{2}{t} $ e precisamos calcular sua derivada. Além disso, devemos determinar a inclinação da reta tangente à curva dessa função no ponto onde $ t = \frac{1}{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada, que nos dá a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. Vamos também precisar aplicar a fórmula da derivada de funções do tipo $ \frac{1}{t} $.
Passo 2
Para encontrar a derivada da função $ g(t) = \frac{2}{t} $, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Sabemos que $ \frac{1}{t} $ pode ser escrito como $ t^{-1} $, então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra de derivação para potências de $ t $. A regra diz que se $ f(t) = t^n $, então a derivada $ f’(t) = n \cdot t^{n-1} $. Aplicando isso à nossa função:
Passo 4
Simplificando a expressão da derivada, temos:
Passo 5
Agora, vamos determinar a inclinação da reta tangente à curva no ponto onde $ t = \frac{1}{2} $. Para isso, substituímos $ t = \frac{1}{2} $ na expressão da derivada:
Passo 6
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva de $ g(t) $ no ponto $ t = \frac{1}{2} $ é -8.
Para visualizar isso, você pode usar um software ou uma ferramenta computacional para esboçar o gráfico da função $ g(t) = \frac{2}{t} $ e a reta tangente com inclinação -8 no ponto $ t = \frac{1}{2} $.
Resposta
A derivada da função $ g(t) = \frac{2}{t} $ é $ g’(t) = -\frac{2}{t^2} $ e a inclinação da reta tangente no ponto $ t = \frac{1}{2} $ é -8.